设有线性方程组 (1+λ)x1+x2+x3=0； x1+(1+λ)x2+x3=3； x1+x2+(1+λ)x3=λ 问λ取何值时,此方程组 (1)有唯一解;(2)无解；(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.
(1)有唯一解;(2)无解；(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.
题目解答
答案
0 λ -λ 3- λ
0 0 - λ× λ-3 λ - λ× λ-2 λ+3
上面是增广矩阵的化简形式.
如果 λ=0,则矩阵为：
1 1 1 0
0 0 0 3
0 0 0 3
无解.故无解时,λ=0
如 λ不等于0且 λ不等于-3时,有唯一解.
如果 λ=-3,则有无穷解.通解为：C1『0
-1
1 』 +c2『1
1
1』
另外说明：
(1)要有唯一解.首先,你要明白“有唯一解”是什么含义.对于一个线性方程组来说,例如
AX=B,有唯一解就是要求B只能被A中的列向量唯一表示.对于这道题而言,如果A不是满秩的,那就意味着A中有自由变量.这样的话,B向量如果是在A向量生成的子空间内的话,那么B能够被A的基线性表示的方式肯定不止一种(因为有自由变量存在).所以,要有唯一解,则A必须是满秩的,也就是说detA不等于0.detA= λ× λ( λ+3)不等于0.可知 λ不等于0和-3.
(2)无解.因为 λ不等于0且不等于-3时,方程一定有唯一解.所以要考虑无解的情况,就要考虑 λ=0和 λ=-3两种情况了.将两种情况代入,即可判断.
(3)无穷解.不赘述了.
解析
题目考察知识
线性方程组解的判定定理：对于线性方程组$Ax=b$（$A$为系数矩阵，$(A|b)$为增广矩阵）：
- 唯一解：$r(A)=r(A|b)=n$（$n$为未知数个数，此处$(n=3$），等价于系数矩阵行列式\(\det(A)\neq0\\)；
- 无解：$r(A)\lt r(A|b)$；
- 无穷多解：$A)=r(A|b)\lt n$。
解题步骤
1. 计算系数矩阵行列式$\det(A)\(A$
系数矩阵$A=\begin{pmatrix}1+\lambda&1&1\\1&1+\lambda&1\\1&1&1+\lambda\end{pmatrix}$，这是秩1矩阵加单位矩阵，行列式公式为：
$\det(A)=\lambda^2(\lambda+3)$
- 当$\det(A)\neq0$，即$\lambda\lambda\neq0$且$\lambda\neq-3$时，$r(A)=3$，方程组有唯一解。
2. 讨论$\lambda=0$时的情况
代入$\lambda=0$，增广矩阵\((A|b))为： $(A|b)=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&1&3\\1&1&1&0\end{pmatrix}\to\text{行化简后}\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&30&0&0&0\end{pmatrix}$ 此时$r(A)=1\r$r(A|b)=2)，方程组无解。
3. 讨论$\lambda=-3$时的情况
代入$\lambda=-3$，增广矩阵为：
$(A|b)=\begin{pmatrix}-2&1&1&0\\1&-2&1&31&1&-2&-3\end{pmatrix}\to\text{行化简后}\begin{pmatrix}1&0&-1&-10&1&-1&-20&0&0&0\end{pmatrix}\T\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\Delta\) 同解方程组为： \[\begin{cases}x_1=x_3-1\\x_2=x_3-2\\x_3\text{为自由变量}\end{cases}$
通解为：$x=\begin{pmatrix}-1\\-20\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}111\end{pmatrix}$（$k$为任意常数）。