例3.14 设向量组a1,a 2,a3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关.问-|||-(1)α1能否由α2,a3线性表示?(2)a4能否由α1,a2,a3线性表示?

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性、线性表示的条件，以及定理3.6和定理3.9的应用。

解题核心思路：

1. 第（1）问：通过已知向量组$a_1,a_2,a_3$线性相关，结合定理3.9，判断$a_1$是否可由$a_2,a_3$线性表示。关键在于确定$a_2,a_3$是否线性无关。
2. 第（2）问：通过反证法，假设$a_4$可由$a_1,a_2,a_3$线性表示，结合$a_1$的表示关系，推导出与已知条件矛盾的结论。

破题关键点：

• 定理3.6的推论：若部分向量组线性无关，则包含它的向量组可能线性相关或无关，需结合其他条件判断。
• 定理3.9：若向量组线性无关，添加一个向量使其相关，则该向量可被原向量组唯一表示。
• 反证法：通过假设结论不成立，推导矛盾。

第（1）题

分析$a_2,a_3$的线性相关性

已知向量组$a_2,a_3,a_4$线性无关，根据定理3.6的推论，部分向量组$a_2,a_3$必线性无关（否则整个向量组$a_2,a_3,a_4$会线性相关）。

应用定理3.9

已知向量组$a_1,a_2,a_3$线性相关，而$a_2,a_3$线性无关，根据定理3.9，$a_1$可由$a_2,a_3$线性表示。

第（2）题

假设$a_4$可由$a_1,a_2,a_3$线性表示

若$a_4$可由$a_1,a_2,a_3$线性表示，而$a_1$可由$a_2,a_3$线性表示（第（1）问结论），则$a_4$可进一步表示为$a_2,a_3$的线性组合。

推导矛盾

此时向量组$a_2,a_3,a_4$线性相关（因为$a_4$可由$a_2,a_3$表示），但题目中已知$a_2,a_3,a_4$线性无关，矛盾。因此$a_4$不能由$a_1,a_2,a_3$线性表示。