题目
设 A, B, C 均为 n 阶矩阵, 若由 AB = AC 能推出 B = C, 则 A 应满足 [ ]。A. A ≠ 0B. A = 0C. |A| = 0D. |A| ≠ 0
设 A, B, C 均为 n 阶矩阵, 若由 AB = AC 能推出 B = C, 则 A 应满足 [ ]。
A. A ≠ 0
B. A = 0
C. |A| = 0
D. |A| ≠ 0
题目解答
答案
D. |A| ≠ 0
解析
步骤 1：理解题意
题目要求我们找出矩阵 A 应满足的条件，使得由 AB = AC 能推出 B = C。这意味着矩阵 A 必须具有某种性质，使得它在乘法中不会丢失信息。
步骤 2：分析矩阵 A 的性质
矩阵 A 必须是可逆的，即存在矩阵 A 的逆矩阵 A^{-1}，使得 A^{-1}A = I，其中 I 是单位矩阵。只有当 A 是可逆矩阵时，我们才能从 AB = AC 推出 B = C。这是因为我们可以两边同时左乘 A^{-1}，得到 A^{-1}AB = A^{-1}AC，即 B = C。
步骤 3：确定 A 的行列式
矩阵 A 可逆的充要条件是它的行列式不为零，即 |A| ≠ 0。如果 |A| = 0，那么 A 不可逆，不能从 AB = AC 推出 B = C。
题目要求我们找出矩阵 A 应满足的条件，使得由 AB = AC 能推出 B = C。这意味着矩阵 A 必须具有某种性质，使得它在乘法中不会丢失信息。
步骤 2：分析矩阵 A 的性质
矩阵 A 必须是可逆的，即存在矩阵 A 的逆矩阵 A^{-1}，使得 A^{-1}A = I，其中 I 是单位矩阵。只有当 A 是可逆矩阵时，我们才能从 AB = AC 推出 B = C。这是因为我们可以两边同时左乘 A^{-1}，得到 A^{-1}AB = A^{-1}AC，即 B = C。
步骤 3：确定 A 的行列式
矩阵 A 可逆的充要条件是它的行列式不为零，即 |A| ≠ 0。如果 |A| = 0，那么 A 不可逆，不能从 AB = AC 推出 B = C。