题目

1.已知函数f(x)的定义域为[0,1],则 ((x)^2-3) 的定义域为 )-|||-A.[0,1] B. [ sqrt (3),2] -|||-C. [ -2,-sqrt (3)] D. [ -2,-sqrt (3)] cup [ sqrt (3),2]

题目解答

答案

解析

本题考查抽象函数定义域的求解。函数定义域是指指自变量$x$的取值范围，对于函数$f(x)$，其定义域为$[0,1]$，即当$f$作用的对象在$[0,1])内时函数有意义。对于\(f(x^2 - 3)$，需要$x^2 - 3$这个整体落在$f(x)$的定义域$[0,1]$内，由此可列出不等式求解$xathbf{x}$的范围。

步骤1：根据函数定义域的定义列不等式

因为$f(x)$的定义域为$[0,1])，所以对于\(f(x^2 - 3)$，必须满足：
$0 \leq x^2 - 3 \leq 1$

步骤2：解不等式组

  1. 解$x^2 - 3 \geq 0$：
    $x^2 \geq 3\implies x \geq \sqrt{3}\quad \text{或}\quad x \leq -\sqrt{3}$

  2. 解$x^2 - 3 \leq 1$：
    $x^2 \leq 4\implies -2 \leq x \leq 2$

步骤3：求交集得到$x$的定义域

取上述两个不等式的交集：

  • 当$x \geq \sqrt{3}$时，结合$-2 \leq x \leq 2)得\(\sqrt{3} \leq x \leq 2$；
  • 当$x \leq -\sqrt{3}$时，结合$-2 \leq x \leq 2$得$-2 \leq x \leq -\sqrt{3}$。

综上，$f(x^2 - 3)$的定义域为$[-2, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, 2]$。