5.求由 =(x)^3 =2, y=0 所围成的图形,绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

考查要点：本题主要考查旋转体体积的计算，特别是利用圆盘法求解绕x轴旋转的体积问题。

解题核心思路：

1. 确定积分区间：找出曲线$y=x^3$、直线$x=2$和$y=0$围成的区域在$x$轴上的投影范围，即$x$从$0$到$2$。
2. 选择方法：由于旋转体为实心结构，使用圆盘法，其体积公式为$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$。
3. 代入计算：将$f(x) = x^3$代入公式，计算定积分即可。

破题关键点：

• 正确识别积分区间和被积函数。
• 明确圆盘法的适用条件及公式形式。

步骤1：确定积分区间
曲线$y=x^3$与$y=0$（x轴）的交点为$x=0$，与$x=2$的交点为$(2,8)$。因此，积分区间为$x \in [0, 2]$。

步骤2：应用圆盘法公式
每个垂直于x轴的截面为圆盘，半径$r = y = x^3$，体积元素为$dV = \pi r^2 dx = \pi (x^3)^2 dx = \pi x^6 dx$。

步骤3：计算定积分
$V = \pi \int_{0}^{2} x^6 \, dx = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^7}{7} - 0 \right) = \frac{128}{7} \pi.$