题目
7.购买西瓜时,人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越-|||-好.假设把西瓜都看成球形,半径记作R,并把西瓜瓤的密度看成-|||-是均匀的,西瓜皮的厚度都是d.你认为买大西瓜合算还是买小西-|||-瓜合算?
题目解答
答案
本题考查了球的体积公式，考查了计算能力，属于基础题．
利用球的体积公式表示出西瓜瓤与整个西瓜的体积比，再比较大小即可．
解:西瓜瓤的体积${V}_{1}=\dfrac {4}{3}\pi {(R-d)}^{3}$,整个西瓜的体积$V=\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}$,
所以西瓜瓤与整个西瓜的体积比$\dfrac {{V}_{1}}{V}=\dfrac {{(R-d)}^{3}}{{R}^{3}}={(1-\dfrac {d}{R})}^{3}$.
由此可知,西瓜越大,$\dfrac {d}{B}$越小,$\dfrac {{V}_{1}}{V}$越大,所以买大西瓜合算.
利用球的体积公式表示出西瓜瓤与整个西瓜的体积比，再比较大小即可．
解:西瓜瓤的体积${V}_{1}=\dfrac {4}{3}\pi {(R-d)}^{3}$,整个西瓜的体积$V=\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}$,
所以西瓜瓤与整个西瓜的体积比$\dfrac {{V}_{1}}{V}=\dfrac {{(R-d)}^{3}}{{R}^{3}}={(1-\dfrac {d}{R})}^{3}$.
由此可知,西瓜越大,$\dfrac {d}{B}$越小,$\dfrac {{V}_{1}}{V}$越大,所以买大西瓜合算.
解析
步骤 1：计算西瓜瓤的体积
西瓜瓤可以看作一个半径为 \(R-d\) 的球体，其体积 \(V_1\) 可以用球体体积公式计算：
\[ V_1 = \frac{4}{3} \pi (R-d)^3 \]
步骤 2：计算整个西瓜的体积
整个西瓜可以看作一个半径为 \(R\) 的球体，其体积 \(V\) 可以用球体体积公式计算：
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
步骤 3：计算西瓜瓤与整个西瓜的体积比
西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：
\[ \frac{V_1}{V} = \frac{\frac{4}{3} \pi (R-d)^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{(R-d)^3}{R^3} = \left(1 - \frac{d}{R}\right)^3 \]
步骤 4：分析体积比与西瓜大小的关系
由上式可以看出，西瓜瓤与整个西瓜的体积比与西瓜的大小有关。当西瓜越大，即 \(R\) 越大时，\(\frac{d}{R}\) 越小，因此 \(\left(1 - \frac{d}{R}\right)^3\) 越大，即西瓜瓤占整个西瓜的比例越大。
西瓜瓤可以看作一个半径为 \(R-d\) 的球体，其体积 \(V_1\) 可以用球体体积公式计算：
\[ V_1 = \frac{4}{3} \pi (R-d)^3 \]
步骤 2：计算整个西瓜的体积
整个西瓜可以看作一个半径为 \(R\) 的球体，其体积 \(V\) 可以用球体体积公式计算：
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
步骤 3：计算西瓜瓤与整个西瓜的体积比
西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：
\[ \frac{V_1}{V} = \frac{\frac{4}{3} \pi (R-d)^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{(R-d)^3}{R^3} = \left(1 - \frac{d}{R}\right)^3 \]
步骤 4：分析体积比与西瓜大小的关系
由上式可以看出，西瓜瓤与整个西瓜的体积比与西瓜的大小有关。当西瓜越大，即 \(R\) 越大时，\(\frac{d}{R}\) 越小，因此 \(\left(1 - \frac{d}{R}\right)^3\) 越大，即西瓜瓤占整个西瓜的比例越大。