设(x)=dfrac (1)(1-{e)^dfrac (x{x-1)}}求f(x)的间断点并判断类型。

考查要点：本题主要考查函数间断点的求解及类型判断，涉及分母为零、指数函数的极限分析。

解题核心思路：

1. 确定无定义点：分母为零或分母中的分母为零的情况。
2. 分析极限存在性：分别计算左右极限，判断是否存在及是否相等。
3. 分类间断点类型：根据极限是否存在及是否相等，确定为第一类或第二类间断点。

破题关键点：

• 分母为零的点：解方程 $1 - e^{\frac{x}{x-1}} = 0$，得 $x=0$。
• 分母中的分母为零的点：$x=1$。
• 极限分析：特别注意 $x \to 1$ 时，指数 $\frac{x}{x-1}$ 的趋向方向对极限的影响。

步骤1：确定无定义点

1. 分母为零：
   $1 - e^{\frac{x}{x-1}} = 0 \Rightarrow e^{\frac{x}{x-1}} = 1 \Rightarrow \frac{x}{x-1} = 0 \Rightarrow x = 0$。
2. 分母中的分母为零：
   $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$。

可能的间断点：$x=0$ 和 $x=1$。

步骤2：分析 $x=0$ 处的极限

• 当 $x \to 0$ 时，$\frac{x}{x-1} \to 0$，但趋近方向不同：
  • $x \to 0^+$：$\frac{x}{x-1} \to 0^-$，$e^{\frac{x}{x-1}} \to 1^-$，分母 $1 - e^{\frac{x}{x-1}} \to 0^+$，故 $f(x) \to +\infty$。
  • $x \to 0^-$：$\frac{x}{x-1} \to 0^+$，$e^{\frac{x}{x-1}} \to 1^+$，分母 $1 - e^{\frac{x}{x-1}} \to 0^-$，故 $f(x) \to -\infty$。
• 结论：$\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在，为第二类无穷型间断点。

步骤3：分析 $x=1$ 处的极限

• 当 $x \to 1^-$：
  • $\frac{x}{x-1} \to -\infty$，$e^{\frac{x}{x-1}} \to 0$，分母 $1 - 0 = 1$，故 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$。
• 当 $x \to 1^+$：
  • $\frac{x}{x-1} \to +\infty$，$e^{\frac{x}{x-1}} \to +\infty$，分母 $1 - (+\infty) \to -\infty$，故 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$。
• 结论：左右极限存在但不相等，为第一类跳跃间断点。