(2013年考研试题) 设A、B、C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则( )。A. 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C. 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D. 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的性质、矩阵等价的概念以及可逆矩阵的作用。关键在于理解矩阵乘法对列向量组的影响，以及可逆矩阵如何保证向量组的等价性。

解题核心思路：

1. 矩阵乘法的列组合性质：矩阵乘积$AB$的列向量是$A$的列向量的线性组合，系数由$B$的对应列决定。
2. 可逆矩阵的双向线性表示：由于$B$可逆，$A$可以表示为$A = CB^{-1}$，从而$A$的列向量组也能由$C$的列向量组线性表示。
3. 等价性判定：若两个向量组能互相线性表示，则它们等价。

破题关键点：

• 选项B的正确性：通过$AB=C$和$B$可逆，推导出$A$与$C$的列向量组可互相线性表示，从而等价。
• 排除其他选项：行向量组的等价性需通过转置分析，但无法保证双向线性表示；选项D中$C$的列向量组与$B$的列向量组无必然联系。

选项分析

选项B：矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

1. 列向量的线性组合：
   设$B$的第$j$列为$b_j$，则$C$的第$j$列可表示为$A b_j$，即$C$的列向量是$A$的列向量的线性组合。因此，$C$的列向量组可由$A$的列向量组线性表示。
2. 反向线性表示：
   由于$B$可逆，存在$B^{-1}$，可得$A = C B^{-1}$。此时，$A$的第$j$列可表示为$C$的列向量的线性组合（系数为$B^{-1}$的第$j$列）。因此，$A$的列向量组也可由$C$的列向量组线性表示。
3. 等价性结论：
   两向量组可互相线性表示，故选项B正确。

其他选项分析

• 选项A：行向量组的等价性需通过转置矩阵分析，但无法保证双向线性表示。
• 选项C/D：$C$的行或列向量组与$B$的对应向量组无必然联系，因$B$仅作为系数矩阵参与线性组合。