在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个-|||-质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例.试求X-|||-的分布函数.

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率模型建立及分布函数的求解方法。关键在于理解题目中“概率与小区间长度成正比”的条件，进而推导出均匀分布的特性。

解题核心思路：

1. 明确分布函数定义：分布函数$F(x) = P\{X \leq x\}$，需分段讨论$x$的不同取值范围。
2. 利用归一性确定比例常数：通过总概率为1的条件，确定比例系数$k$。
3. 分段构建分布函数：根据$x$在区间外、区间内、区间右端点后的不同情况，分别写出对应概率。

破题关键点：

• 正比例关系：题目中“概率与小区间长度成正比”暗示概率密度函数为常数。
• 归一性条件：总概率为1，用于确定比例系数$k$的值。

步骤1：确定分布函数分段点

根据题意，质点落在区间$[0,a]$内，因此分布函数需分三段讨论：

1. 当$x < 0$时：质点不可能落在负区间，概率为0。
2. 当$0 \leq x \leq a$时：概率与区间长度成正比，设比例系数为$k$。
3. 当$x \geq a$时：质点必然落在区间内，概率为1。

步骤2：确定比例系数$k$

在区间$[0,a]$内，总概率为1，即：
$P\{0 \leq X \leq a\} = k \cdot a = 1 \implies k = \frac{1}{a}.$

步骤3：分段写出分布函数

1. 当$x < 0$时：$F(x) = 0$。
2. 当$0 \leq x \leq a$时：$F(x) = P\{X \leq x\} = \frac{x}{a}$。
3. 当$x \geq a$时：$F(x) = 1$。