[题目]-|||-2.讨论下列瑕积分是否收敛?若收敛则求其值:-|||-(1) (int )_(a)^bdfrac (dx)({(x-a))^p}-|||-(2) (int )_(0)^1dfrac (dx)(1-{x)^2};

考查要点：本题主要考查瑕积分（广义积分）的收敛性判断及计算，涉及对被积函数在瑕点附近的行为分析。

解题核心思路：

1. 确定瑕点位置：找出积分区间内使被积函数无界的点。
2. 应用收敛性判别法：根据瑕积分的收敛性条件，结合幂函数或对数函数的积分结果，判断积分是否收敛。
3. 分情况讨论参数：对于含参数的积分，需对参数的不同取值范围分别分析。

破题关键点：

• 第一题：被积函数为 $\frac{1}{(x-a)^p}$，瑕点在 $x=a$，需比较 $(x-a)$ 的幂次与 $1$ 的大小关系。
• 第二题：被积函数 $\frac{1}{1-x^2}$ 在 $x=1$ 处无界，需通过积分计算判断其发散性。

第（1）题

步骤1：确定瑕点与收敛性条件
被积函数 $\frac{1}{(x-a)^p}$ 在 $x=a$ 处无界，故 $x=a$ 为瑕点。根据瑕积分收敛性判别法：

• 当 $p < 1$ 时，积分收敛；
• 当 $p \geq 1$ 时，积分发散。

步骤2：计算积分
当 $p \neq 1$ 时，原函数为：
$\int \frac{dx}{(x-a)^p} = \frac{1}{1-p}(x-a)^{1-p} + C$
代入上下限 $a$ 和 $b$，得：
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{(x-a)^p} = \frac{1}{1-p} \left[ (b-a)^{1-p} - \lim_{x \to a^+} (x-a)^{1-p} \right]$

• 当 $p < 1$ 时：$\lim_{x \to a^+} (x-a)^{1-p} = 0$，积分值为 $\frac{(b-a)^{1-p}}{1-p}$；
• 当 $p \geq 1$ 时：$\lim_{x \to a^+} (x-a)^{1-p} = +\infty$，积分发散。

步骤3：特殊情况 $p=1$
此时积分变为 $\int_{a}^{b} \frac{dx}{x-a}$，原函数为 $\ln|x-a|$，在 $x \to a^+$ 时趋向 $-\infty$，故发散。

第（2）题

步骤1：确定瑕点
被积函数 $\frac{1}{1-x^2}$ 在 $x=1$ 处无界，故 $x=1$ 为瑕点。

步骤2：计算积分
将被积函数分解为部分分式：
$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} \right)$
积分得：
$\int \frac{dx}{1-x^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C$
代入上下限 $0$ 和 $1$：
$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1-x^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 1^-} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{1}{2} \ln 1$
当 $x \to 1^-$ 时，$\frac{1+x}{1-x} \to +\infty$，故积分发散。