判定函数(z)=dfrac ({x)^2}(2)+xyi在何处可导在何处解析

考查要点：本题主要考查复变函数的可导性和解析性的判定，核心是应用柯西-黎曼方程。

解题思路：

1. 分解函数：将复变函数分解为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$。
2. 计算偏导数：分别求出$u$和$v$的四个一阶偏导数。
3. 代入柯西-黎曼方程：联立方程$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$，求解满足条件的$(x,y)$。
4. 判断解析性：若函数在某区域内的每一点都满足柯西-黎曼方程且偏导数连续，则该区域解析；否则不解析。

破题关键：通过柯西-黎曼方程确定可导点，再根据解析的局部性质判断解析区域。

分解函数与计算偏导数

设$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，其中：
$u(x,y) = \frac{x^2}{2}, \quad v(x,y) = xy$

计算偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x} = x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial v}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x$

代入柯西-黎曼方程

柯西-黎曼方程为：
$\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\end{cases}$

代入偏导数：

1. 第一式：$x = x$，恒成立。
2. 第二式：$0 = -y$，解得$y = 0$。

结论：当且仅当$y = 0$时，柯西-黎曼方程成立，即函数在直线$y=0$上可导。

判断解析性

解析要求函数在某邻域内处处可导。由于$y=0$仅是一条直线，不存在包含该点的邻域，因此函数在复平面上处处不解析。