注 类似地，函数f(x)=int_(x)^x+1|t(t^2-1)|dt的最小值为____.
题目解答
答案
解析
本题主要考察利用微积分基本定理求导以及含绝对值函数的积分计算，核心是通过求导找到函数的极值点，进而确定最小值。
步骤1：利用微积分基本定理求导
对于函数$f(x)=\int_{x}^{x+1}|t(t^2 - 1)|dt$，根据微积分基本定理：
若$F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(t)dt$，则$F'(x)=g(b(x))\cdot b'(x - g(a(x))\cdot ax$。
这里$g(t)=|t(t^2 - 1)|$，$b(x)=x+1$，$a(x)=x$，故：
$f'(x)=|(x+1)((x+1)^2 - 1)| - |x(x^2 - 1)|=|(x+1)(x^2 + 2x)| - |x(x^2 - 1)|$
化简得：
$f'(x)=|(x+1)x(x)(x+2)| - |x(x - 1)(x + 1)|=|x(x+1)(x+2)| - |x(x+1)(x - 1)|$
（注：原答案直接给出$f'(x)=|(x+1)(x+2)| - |x(x - 1)|$，可能省略了$x$的公因子，但不影响零点求解）
步骤2：求解导数零点
令$f'(x)=0$，即$|(x+1)(x+2)|=|x(x - 1)|$。
平方去绝对值（或分段讨论），解得关键零点：$x=-1,-\frac{1}{2},0$。
步骤3：计算各点函数值
$f(-1)$：
$f(-1)=\int_{-1}^{0}|t(t^2 - 1)|dt$
$t\in[-1,0]$时，$t^2 - 1<0$，故$|t(t^2 - 1)|=-t(t^3 - t)=-t^3 + t$，积分：
$\int_{-1}^{0}(-t^3 + t)dt=\left[-\frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2}\right]_{-1}^0=0 - \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$
通
\(f\left(-\frac{1}{2}\right)\： $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\int_{-\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}|t(t^2 - 1)|dt$ $t\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$时，$t^2 - 1<0$，$|t(t^2 - 1)|=-t^3 + t$，积分：
$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(-t^3 + t)dt=2\int_{0}^{\frac{1}{2}}(-t^3 + t)dt=2\left[-\frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2}\right]_0^{\frac{1}{2}}=2\left(-\frac{1}{64} + \frac{1}{8}\right)=\frac{7}{32}$
\(f(0)\： $f(0)=\int_{0}^{1}|t(t^2 - 1)|dt$ $0,1]时，\(t^2 - 1<0$，$|t(t^2 - 1)|=-t^3 + t$，积分：
$\int_{0}^{1}(-t^3 + t)dt=\left[-\frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2}\right]_0^1=-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$
步骤4：确定最小值
比较$f(-1)=-\frac{1}{4}$，$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{32}$，$f(0)=-\frac{1}{4}$，最小值为$-\frac{1}{4}$。