题目
5. =2020+(x)^3-(x)^2+5x 在[1,5]上满足拉格朗日中值定理.
题目解答
答案
解析
步骤 1：验证函数在闭区间[1,5]上连续
函数 $y=2020+x^3-x^2+5x$ 是一个多项式函数，多项式函数在实数范围内是连续的，因此在闭区间[1,5]上也是连续的。
步骤 2：验证函数在开区间(1,5)上可导
函数 $y=2020+x^3-x^2+5x$ 的导数为 $y'=3x^2-2x+5$，这是一个二次多项式函数，二次多项式函数在实数范围内是可导的，因此在开区间(1,5)上也是可导的。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f(x)$ 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在至少一个点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
对于函数 $y=2020+x^3-x^2+5x$，在闭区间[1,5]上连续，在开区间(1,5)上可导，因此存在至少一个点 $\xi \in (1,5)$，使得 $y'(\xi) = \frac{y(5) - y(1)}{5 - 1}$。
计算 $y(5)$ 和 $y(1)$：
$y(5) = 2020 + 5^3 - 5^2 + 5 \cdot 5 = 2020 + 125 - 25 + 25 = 2145$
$y(1) = 2020 + 1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1 = 2020 + 1 - 1 + 5 = 2025$
因此，$y'(\xi) = \frac{2145 - 2025}{5 - 1} = \frac{120}{4} = 30$。
解方程 $3x^2 - 2x + 5 = 30$，得到 $3x^2 - 2x - 25 = 0$，解得 $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 \cdot 25}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{304}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{76}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{76}}{3}$。
因为 $\xi \in (1,5)$，所以 $\xi = \frac{1 + \sqrt{76}}{3}$。
函数 $y=2020+x^3-x^2+5x$ 是一个多项式函数，多项式函数在实数范围内是连续的，因此在闭区间[1,5]上也是连续的。
步骤 2：验证函数在开区间(1,5)上可导
函数 $y=2020+x^3-x^2+5x$ 的导数为 $y'=3x^2-2x+5$，这是一个二次多项式函数，二次多项式函数在实数范围内是可导的，因此在开区间(1,5)上也是可导的。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f(x)$ 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在至少一个点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
对于函数 $y=2020+x^3-x^2+5x$，在闭区间[1,5]上连续，在开区间(1,5)上可导，因此存在至少一个点 $\xi \in (1,5)$，使得 $y'(\xi) = \frac{y(5) - y(1)}{5 - 1}$。
计算 $y(5)$ 和 $y(1)$：
$y(5) = 2020 + 5^3 - 5^2 + 5 \cdot 5 = 2020 + 125 - 25 + 25 = 2145$
$y(1) = 2020 + 1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1 = 2020 + 1 - 1 + 5 = 2025$
因此，$y'(\xi) = \frac{2145 - 2025}{5 - 1} = \frac{120}{4} = 30$。
解方程 $3x^2 - 2x + 5 = 30$，得到 $3x^2 - 2x - 25 = 0$，解得 $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 \cdot 25}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{304}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{76}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{76}}{3}$。
因为 $\xi \in (1,5)$，所以 $\xi = \frac{1 + \sqrt{76}}{3}$。