1.已知向量组-|||-(0 3 (2) (2) (0) 4-|||-1 0 3 1 -2 4-|||-A:a1= ,a2= ,a3= ; B:b1= 1 ,b2= ,b3=-|||-2 1 0 1 1-|||-3 2 1 2 1 3-|||-证明向量组B能由向量组A线性表示,但向量组A不能由向量组B线性表示.

本题主要考察向量组线性表示的判定方法，，核心思路是通过矩阵的秩来判断：若向量组$B$能由向量组$A$)线性表示，则矩阵$(A,B)$的秩等于矩阵$A$的秩；若向量组$\(A$能由向量组$B$线性表示，则矩阵$(B,A)$的秩等于矩阵$B$的秩。

步骤1：明确向量组$A$和$B$的矩阵形式

向量组$\(A$包含$a_1,a_2,a_3$，向量组$B$包含$b_1,b2,b3$，均为3维列向量，故：

• 矩阵$A=(a_1,a_2,a_3)$（3×3矩阵）
• 矩阵$B=(b_1,b_2,b_3)$（3元素关系：通过对增广矩阵$(B,A)$和$(A,B)$进行行初等变换，比较秩的大小。

步骤2：证明向量组$B$能由向量组$A$线性表示

构造矩阵$(A,BB)$，对其进行行初等变换：
$(A,B)=\begin{pmatrix}0 & 3 & 2 & 2 & 0 & 44 \\1 & 0 & 1 & 1 & 3 & 1 \\0 & 1 & 2 & 1 & -2 &4\end{pmatrix}$
通过行变换（如交换行、倍乘、倍加），最终可化为行阶梯形，发现$\text{r}(A)=\text{r}(A,B)=3$（$A$的列向量线性无关，增广矩阵秩等于$A$的秩），故$B$能由$A$线性表示。

步骤3：证明向量组$A$不能由向量组$B$线性表示

构造矩阵$(B,A)$，进行行初等变换：
$(B,A)=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 & &0 &3 &2 \\1 & 1 & 3 &1 &0 &1 \\2 & 1 & -2 &2 &0 &1 &2\end{pmatrix}$
行变换后发现，$\text{r}(B)=2<\text{r}(B,A)=3$（$B$的秩小于增广矩阵的秩），故$A$不能由$B$线性表示。