连续地掷一枚骰子105次，则点数之和超过400的概率为() A 1 - Phi((13)/(7)) B Phi((13)/(7)) C Phi

为了确定连续掷一枚骰子105次，点数之和超过400的概率，我们可以使用中心极限定理。中心极限定理指出，大量独立同分布的随机变量之和的分布可以近似为正态分布。 首先，我们定义随机变量 $X_i$ 为第 $i$ 次掷骰子的结果。每个 $X_i$ 是一个离散随机变量，取值为1到6，每个值的概率都是 $\frac{1}{6}$。 ### 步骤1：计算单次掷骰子的期望值和方差 期望值 $E(X_i)$ 为： \[ E(X_i) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \] 方差 $Var(X_i)$ 为： \[ Var(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 \] 首先计算 $E(X_i^2)$: \[ E(X_i^2) = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \] 然后计算方差: \[ Var(X_i) = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12} \] ### 步骤2：计算105次掷骰子的总和的期望值和方差 设 $S$ 为105次掷骰子的总和，即 $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{105}$。根据期望值和方差的性质，我们有： \[ E(S) = 105 \cdot E(X_i) = 105 \cdot 3.5 = 367.5 \] \[ Var(S) = 105 \cdot Var(X_i) = 105 \cdot \frac{35}{12} = \frac{3675}{12} = 306.25 \] 标准差 $\sigma_S$ 为： \[ \sigma_S = \sqrt{Var(S)} = \sqrt{306.25} = 17.5 \] ### 步骤3：使用中心极限定理近似总和的分布 根据中心极限定理，总和 $S$ 近似服从正态分布 $N(367.5, 17.5^2)$。我们 want to find $P(S > 400)$。将这个概率转换为标准正态分布的概率，我们有： \[ P(S > 400) = P\left(\frac{S - 367.5}{17.5} > \frac{400 - 367.5}{17.5}\right) = P\left(Z > \frac{32.5}{17.5}\right) = P\left(Z > \frac{65}{35}\right) = P\left(Z > \frac{13}{7}\right) \] 其中 $Z$ 是标准正态随机变量。根据标准正态分布的性质，我们有： \[ P\left(Z > \frac{13}{7}\right) = 1 - P\left(Z \leq \frac{13}{7}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{13}{7}\right) \] ### 步骤4：给出最终答案 因此，点数之和超过400的概率为： \[ \boxed{A} \]