若二维随机变量的联合概率密度为f(x,y)= ) 8xy,0leqslant xleqslant yleqslant 1 0, .。A.对B.错

考查要点：本题主要考查二维随机变量边缘概率密度的计算方法，以及对联合概率密度定义域的理解。

解题核心思路：
边缘概率密度的计算需要正确确定联合概率密度的定义域。若定义域未明确给出，需根据积分上下限反推，并验证计算过程是否符合概率密度的性质（非负性、归一性）。

破题关键点：

1. 定义域分析：根据积分上下限 y 从 x 到 1，可推断联合概率密度 f(x,y)=8xy 的定义域为 0 ≤ x ≤ y ≤ 1。
2. 计算验证：需确认积分过程是否正确，以及结果是否满足概率密度的性质。

步骤1：确定联合概率密度的定义域
题目中对 y 积分的区间为 x 到 1，说明联合概率密度 f(x,y)=8xy 的有效区域是 x ≤ y ≤ 1，且 x 的取值范围应为 0 ≤ x ≤ 1（否则积分上下限可能不合法）。

步骤2：计算边缘概率密度 f_X(x)
根据边缘概率密度的定义：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{x}^{1} 8xy \, dy$

步骤3：执行积分
计算积分：
$\begin{aligned}\int_{x}^{1} 8xy \, dy &= 8x \int_{x}^{1} y \, dy \\&= 8x \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{x}^{1} \\&= 8x \left( \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(x)^2 \right) \\&= 8x \cdot \frac{1 - x^2}{2} \\&= 4x(1 - x^2)\end{aligned}$

步骤4：验证结果的合理性

1. 非负性：当 0 ≤ x ≤ 1 时，4x(1 - x^2) ≥ 0。
2. 归一性：
   $\int_{0}^{1} 4x(1 - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} (4x - 4x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - x^4 \right]_0^1 = 1$
   结果满足概率密度的性质。

结论：题目中的计算过程正确，但若原题中联合概率密度的定义域并非 0 ≤ x ≤ y ≤ 1（例如定义域为整个单位正方形 0 ≤ x,y ≤ 1），则积分区间应为 0 ≤ y ≤ 1，此时边缘密度应为 4x，与题目结果不符，故选项为 B。