甲乙两人约定中午12：30在某地会面。若甲来到的时间在12：15到12：45之间是均匀分布的。乙独立地到达，且到达时间在12：00到13：00之间是均匀分布的.试解答下列问题：left(1right)先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率有多大？left(2right)甲先乙到10分钟以上的概率有多大？

几何概率模型是解决本题的核心。题目中两人到达时间均服从均匀分布，需通过坐标系表示所有可能情况，找到满足条件的区域面积，再计算概率。

1. 问题（1）的关键是时间差不超过5分钟，即$|x - y| \leq 5$。需注意甲的时间范围（15到45分钟）和乙的时间范围（0到60分钟）的限制，计算满足条件的区域面积。
2. 问题（2）的关键是甲比乙早到10分钟以上，即$x - y > 10$。需计算甲的时间减去乙的时间大于10分钟的区域面积。

第（1）题

步骤1：确定总区域面积

甲的时间范围为$[15, 45]$分钟，乙的时间范围为$[0, 60]$分钟，总区域面积为：
$S_{\text{总}} = (45 - 15) \times (60 - 0) = 30 \times 60 = 1800$

步骤2：计算不满足条件的区域面积

不满足条件的情况为$|x - y| > 5$，即$y > x + 5$或$y < x - 5$。

1. 区域$y > x + 5$：
   当$x \in [15, 45]$时，$y$的范围为$[x + 5, 60]$，面积为：
   $\int_{15}^{45} (60 - (x + 5)) \, dx = \int_{15}^{45} (55 - x) \, dx = 750$

2. 区域$y < x - 5$：
   当$x \in [15, 45]$时，$y$的范围为$[0, x - 5]$，面积为：
   $\int_{15}^{45} (x - 5 - 0) \, dx = \int_{15}^{45} (x - 5) \, dx = 750$

不满足条件的总面积为：
$S_{\text{不满足}} = 750 + 750 = 1500$

步骤3：计算概率

满足条件的面积为：
$S_{\text{满足}} = S_{\text{总}} - S_{\text{不满足}} = 1800 - 1500 = 300$
概率为：
$P = \frac{S_{\text{满足}}}{S_{\text{总}}} = \frac{300}{1800} = \frac{1}{6}$

第（2）题

步骤1：确定满足条件的区域

甲比乙早到10分钟以上即$x - y > 10$，即$y < x - 10$。当$x \in [15, 45]$时，$y$的范围为$[0, x - 10]$，面积为：
$\int_{15}^{45} (x - 10 - 0) \, dx = \int_{15}^{45} (x - 10) \, dx = 600$

步骤2：计算概率

概率为：
$P = \frac{S_{\text{满足}}}{S_{\text{总}}} = \frac{600}{1800} = \frac{1}{3}$