已知函数 z=f(x,y) 连续且满足 lim _(xarrow 1)dfrac (f(x,y)-x+2y+2)(sqrt {{(x-1))^2+(y)^2}}=0 则-|||-lim _(tarrow 0)dfrac (f(1+t,0)-f(1,2t))(t)= __

考查要点：本题主要考查多元函数的极限、连续性与偏导数的综合应用，特别是利用全微分的概念求解函数的变化率。

解题核心思路：

1. 分析给定极限条件：通过题目中的极限条件，确定函数$f(x,y)$在点$(1,0)$处的函数值及展开式，进而推导偏导数。
2. 应用全微分近似：将$f(1+t,0)$和$f(1,2t)$在$(1,0)$处展开，利用偏导数表示函数增量。
3. 计算极限：通过展开式求差并取极限，得到最终结果。

破题关键点：

• 确定$f(1,0)$的值：由极限条件可得$f(1,0) = -1$。
• 推导偏导数：通过函数展开式，结合全微分定义，求出$f_x'(1,0)$和$f_y'(1,0)$的值。

步骤1：分析给定极限条件

题目给出：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x,y)-x+2y+2}{\sqrt {{(x-1)}^{2}+{y}^{2}}}=0$

关键推导：

• 当$x \rightarrow 0$时，分母$\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$趋近于$\sqrt{1 + y^2}$，但题目实际应理解为$(x,y) \rightarrow (1,0)$（可能存在笔误），此时分母趋近于$0$。
• 分子必须比分母更高阶趋近于$0$，故可表示为：
  $f(x,y) - x + 2y + 2 = a(x,y) \cdot \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$
  其中$a(x,y) \rightarrow 0$当$(x,y) \rightarrow (1,0)$。

结论：$f(1,0) = -1$，且函数展开式为：
$f(x,y) = (x-1) - 2y - 2 + a(x,y) \cdot \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

步骤2：求偏导数

1. 对$x$求偏导：
   $f_x'(x,y) = 1 + a(x,y) \cdot \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}}$
   当$(x,y) \rightarrow (1,0)$时，第二项中$a(x,y) \rightarrow 0$，故：
   $f_x'(1,0) = 1$

2. 对$y$求偏导：
   $f_y'(x,y) = -2 + a(x,y) \cdot \frac{y}{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}}$
   当$(x,y) \rightarrow (1,0)$时，第二项中$a(x,y) \rightarrow 0$，故：
   $f_y'(1,0) = -2$

步骤3：计算目标极限

将$f(1+t,0)$和$f(1,2t)$展开：
$\begin{aligned}f(1+t,0) &\approx f(1,0) + f_x'(1,0) \cdot t \\f(1,2t) &\approx f(1,0) + f_y'(1,0) \cdot 2t\end{aligned}$

取差并除以$t$：
$\frac{f(1+t,0) - f(1,2t)}{t} \approx \frac{[f(1,0) + f_x'(1,0) \cdot t] - [f(1,0) + f_y'(1,0) \cdot 2t]}{t} = f_x'(1,0) - 2f_y'(1,0)$

代入偏导数值：
$f_x'(1,0) - 2f_y'(1,0) = 1 - 2 \cdot (-2) = 5$