题目

设 f(x) 在 [a, b] (a < b) 上连续，并且 int_(a)^b f(x) dx = int_(a)^b x f(x) dx = 0。证明：至少存在不同的 xi_(1), xi_(2) in (a, b)，使得 f(xi_(1)) = f(xi_(2)) = 0。

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ ($a < b$) 上连续，并且 $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} x f(x) dx = 0$。证明：至少存在不同的 $\xi_{1}, \xi_{2} \in (a, b)$，使得 $f(\xi_{1}) = f(\xi_{2}) = 0$。

题目解答

答案

我们来证明这个题目： --- **题目：** 设函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，并且满足： $$ \int_a^b f(x) \, dx = 0, \quad \int_a^b x f(x) \, dx = 0 $$ 证明：至少存在两个不同的点 $ \xi_1, \xi_2 \in (a, b) $，使得 $ f(\xi_1) = f(\xi_2) = 0 $。 --- ### **思路分析：** 我们知道，如果一个连续函数在一个区间上的积分等于零，不能直接推出函数在该区间上恒为零。但如果我们有两个积分条件，可能会限制函数的“行为”，从而可以推出函数在某些点上为零。 本题中，我们有两个积分条件，分别对应于函数 $ f(x) $ 和函数 $ x f(x) $ 的积分为零。 我们将使用**反证法**来证明。 --- ### **证明：** 假设在区间 $ (a, b) $ 上，**最多只有一个零点**，即函数 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上要么没有零点，要么只有一个零点。 我们分两种情况讨论： --- #### **情况一：$ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上没有零点** 那么 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上不变号（即恒正或恒负）。 但因为 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，所以 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上也不变号。 那么： - 若 $ f(x) > 0 $，则 $ \int_a^b f(x) \, dx > 0 $，矛盾； - 若 $ f(x) < 0 $，则 $ \int_a^b f(x) \, dx < 0 $，也矛盾。 所以，**$ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上至少有一个零点**。 --- #### **情况二：$ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上只有一个零点** 设这个零点为 $ \xi \in (a, b) $，且 $ f(x) $ 在 $ (a, \xi) $ 和 $ (\xi, b) $ 上不变号。 也就是说，$ f(x) $ 在 $ (a, \xi) $ 上恒正（或恒负），在 $ (\xi, b) $ 上恒负（或恒正），从而使得 $ f(x) $ 在 $ \xi $ 处变号。 我们来考虑函数 $ g(x) = x f(x) $。 因为 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上只有一个零点，所以 $ g(x) = x f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上最多有两个零点： - 一个在 $ x = \xi $ 处（因为 $ f(\xi) = 0 $）； - 一个在 $ x = 0 $ 处（但 $ 0 \notin (a, b) $，因为 $ a < b $，且 $ a > 0 $ 是可能的）。 所以，$ g(x) = x f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上最多有一个零点。 那么 $ g(x) $ 在 $ (a, b) $ 上不变号，因此： - 若 $ g(x) > 0 $，则 $ \int_a^b x f(x) \, dx > 0 $，矛盾； - 若 $ g(x) < 0 $，则 $ \int_a^b x f(x) \, dx < 0 $，也矛盾。 因此，**$ g(x) = x f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上至少有两个零点**。 但是 $ x f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上最多有一个零点（因为 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上只有一个零点），这就导致矛盾。 --- ### **结论：** 我们通过反证法得出： - 如果 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上只有一个零点，那么 $ x f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上最多有一个零点； - 但 $ x f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上必须至少有两个零点（否则积分不为零），这就矛盾。 所以，**$ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上至少有两个不同的零点**。 --- ### **最终答案：** $$ \boxed{\text{至少存在两个不同的点 } \xi_1, \xi_2 \in (a, b) \text{，使得 } f(\xi_1) = f(\xi_2) = 0} $$

解析

考查要点：本题主要考查积分性质与连续函数的零点定理，结合反证法的应用。关键在于利用两个积分条件推导出函数必须存在多个零点。

解题核心思路：

  1. 反证法：假设$f(x)$在$(a,b)$内至多一个零点，分情况讨论矛盾。
  2. 符号分析：若$f(x)$不变号，则积分不可能为零；若$f(x)$仅在一个点变号，分析$x f(x)$的符号变化，导出积分矛盾。
  3. 矛盾推导：通过积分结果为零的条件，说明假设不成立，从而至少存在两个零点。

步骤1：假设至多一个零点

假设$f(x)$在$(a,b)$内至多一个零点，分两种情况讨论：

情况1：$f(x)$在$(a,b)$内无零点

  • 若$f(x)$恒正，则$\int_a^b f(x)dx > 0$，与已知矛盾；
  • 若$f(x)$恒负，则$\int_a^b f(x)dx < 0$，同样矛盾。
    结论：$f(x)$在$(a,b)$内至少有一个零点。

情况2：$f(x)$在$(a,b)$内仅有一个零点$\xi$

  • $f(x)$在$(a,\xi)$和$(\xi,b)$内符号相反。
  • 考虑函数$g(x) = x f(x)$：
    • 若区间$(a,b)$不包含$0$，则$g(x)$在$(a,b)$内仅在$\xi$处变号，符号不变，导致$\int_a^b x f(x)dx \neq 0$，矛盾；
    • 若区间$(a,b)$包含$0$，则$g(x)$在$0$和$\xi$处变号，但$f(x)$在$0$处未必为零，仍无法满足$\int_a^b x f(x)dx = 0$。

矛盾推导：无论是否包含$0$，均无法满足第二个积分条件，故假设不成立。

步骤2：结论

通过反证法，原假设不成立，因此$f(x)$在$(a,b)$内至少存在两个不同的零点$\xi_1, \xi_2$。