题目

求极限lim_(ntoinfty)(sqrt[n]((n+1)(n+2)...(n+n)))/(n).

求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n}.$

题目解答

答案

为了求极限 $\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n}$，我们首先设 $a_n = \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n}$。我们需要找到 $\lim_{n\to\infty} a_n$。首先，我们对 $a_n$ 取自然对数： \[ \ln a_n = \ln \left( \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n} \right) = \ln \left( \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \right) - \ln n = \frac{1}{n} \ln \left( (n+1)(n+2)\cdots(n+n) \right) - \ln n. \] 接下来，我们使用对数的性质将乘积转换为和： \[ \ln \left( (n+1)(n+2)\cdots(n+n) \right) = \sum_{k=1}^n \ln (n+k). \] 因此，我们有： \[ \ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln (n+k) - \ln n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( \frac{n+k}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( 1 + \frac{k}{n} \right). \] 当 $n \to \infty$ 时，和 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( 1 + \frac{k}{n} \right)$ 成为函数 $\ln (1+x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的定积分： \[ \lim_{n\to\infty} \ln a_n = \int_0^1 \ln (1+x) \, dx. \] 为了计算这个积分，我们使用分部积分法。设 $u = \ln (1+x)$ 和 $dv = dx$。那么 $du = \frac{1}{1+x} \, dx$ 和 $v = x$。使用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到： \[ \int_0^1 \ln (1+x) \, dx = \left[ x \ln (1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x} \, dx. \] 计算第一项，我们有： \[ \left[ x \ln (1+x) \right]_0^1 = 1 \cdot \ln 2 - 0 \cdot \ln 1 = \ln 2. \] 对于第二项，我们使用恒等式 $\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$： \[ \int_0^1 \frac{x}{1+x} \, dx = \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x} \right) \, dx = \int_0^1 1 \, dx - \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \left[ x \right]_0^1 - \left[ \ln (1+x) \right]_0^1 = 1 - \ln 2. \] 因此，我们有： \[ \int_0^1 \ln (1+x) \, dx = \ln 2 - (1 - \ln 2) = 2 \ln 2 - 1 = \ln 4 - 1 = \ln \left( \frac{4}{e} \right). \] 由于 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = \ln \left( \frac{4}{e} \right)$，可以得出： \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{4}{e}. \] 因此，极限是： \[ \boxed{\frac{4}{e}}. \]

解析

本题主要考察利用定积分定义求数列极限的方法，具体步骤如下：

步骤1：转化数列形式

设 $a_n = \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n}$，目标是求 $\lim_{n\to\infty} a_n$。
对 $a_n$ 取自然对数，简化乘积运算：
$\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln(n+k) - \ln n$

步骤2：对数拆分与求和转化

将 $\ln(n+k)$ 拆分为 $\ln n + ln(1+\frac{k}{n})$，代入得：
$\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left[ \ln n + \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) \right] - \ln n$
化简后：
$\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$

步骤3：定积分定义求极限

当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$ 转化为 $\ln(1+x)$ 在 $[0,1]$ 上的定积分：
$\lim_{n\to\infty} \ln a_n = \int_0^1 \ln(1+x)dx$

步骤4：分部积分计算定积分

设 $u=\ln(1+x)$，$dv=dx$，则 $du=\frac{1}{1+x}dx$，\ v=x )：
$\int_0^1 \ln(1+x)dx = \left[ x\ln(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x}dx$
计算得：
$= \ln2 - \left(1 - \ln2\right) = 2\ln2 -1 = \ln\left(\frac{4}{e}\right)$

步骤5：指数还原得极限

$\lim_{n\to\infty} a_n = e^{\ln\left(\frac{4}{e}\right)} = \frac{4}{e}$