27.求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:-|||-(2) ) (x)_(1)-5(x)_(2)+2(x)_(3)-3(x)_(4)=11 5(x)_(1)+3(x)_(2)+6(x)_(3)-(x)_(4)=-1 2(x)_(1)+4(x)_(2)+2(x) .

本题主要考察非齐次线性方程组的求解及对应齐次线性方程组基础解系的求解，核心思路是通过对增广矩阵进行初等行变换化为行最简形，进而确定自由变量，分别求出非齐次方程组的一个特解和齐次方程组的基础解系。

步骤1：对增广矩阵进行初等行变换

原方程组的增广矩阵为：
$B = \begin{bmatrix}1 & -5 & 2 & -3 & 11 \\5 & 3 & 6 & -1 & -1 \\2 & 4 & 2 & 1 & -6\end{bmatrix}$
通过初等行变换（如消元法）将其化为行最简形，最终得到与原方程组同解的简化方程组：
$\begin{cases}x_1 = -\frac{9}{7}x_3 + \frac{1}{2}x_4 + 1 \\x_2 = \frac{1}{7}x_3 - \frac{1}{2}x_4 - 2\end{cases}$
其中$x_3, x_4$为自由变量。

步骤2：求非齐次方程组的一个特解$\eta$

令自由变量$x_3 = 0, x_4 = 0$，代入简化方程组得：
$x_1 = 1, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = 0$
故特解为：
$\eta = (1, -2, 0, 0)^T$

步骤3：求对应齐次方程组的基础解系

齐次方程组的简化形式为：
$\begin{cases}x_1 = -\frac{9}{7}x_3 + \frac{1}{2}x_4 \\x_2 = \frac{1}{7}x_3 - \frac{1}{2}x_4\end{cases}$
取自由变量$(x_3, x_4)^T$为$(1, 0)^T$和$(0, 1)^T$：

• 当$(x_3, x_4)^T = (1, 0)^T$时：
  $x_1 = -\frac{9}{7}, \quad x_2 = \frac{1}{7}, \quad x_3 = 1, \quad x_4 = 0$
  为消去分数，取$7$倍向量得$\xi_1 = (-9, 1, 7, 0)^T$。

• 当$(x_3, x_4)^T = (0, 1)^T$时：
  $x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{1}{2}, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = 1$
  为消去分数，取$2$倍向量得$\xi_2 = (1, -1, 0, 2)^T$。