题目
关于定积分 int -11x^3 dx 的正确结论是？ A 结果为0 B 可用奇函数性质计算 C 积分值等于 int -11x^2 dx D 几何意义是面积代数和
关于定积分 $\int -11x^3 dx$ 的正确结论是？
A 结果为0
B 可用奇函数性质计算
C 积分值等于 $\int -11x^2 dx$
D 几何意义是面积代数和
题目解答
答案
为了解决定积分$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$，让我们逐步分析每个选项。
**选项A: 结果为0**
函数 $f(x) = x^3$ 是一个奇函数，因为 $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$。奇函数在关于原点对称的区间上的积分是零。因此，$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = 0$。所以，选项A是正确的。
**选项B: 可用奇函数性质计算**
如上所述，函数 $f(x) = x^3$ 是一个奇函数，奇函数在关于原点对称的区间上的积分是零。因此，我们可以使用奇函数的性质来计算这个积分。所以，选项B是正确的。
**选项C: 积分值等于$\int_{-1}^{1} x^2 \, dx$**
函数 $f(x) = x^2$ 是一个偶函数，因为 $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$。偶函数在关于原点对称的区间上的积分是该函数在区间正半部分的积分的两倍。因此，$\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 \, dx$。由于 $x^3$ 是一个奇函数，$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = 0$，这不等于$\int_{-1}^{1} x^2 \, dx$。所以，选项C是不正确的。
**选项D: 几何意义是面积代数和**
定积分$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$ 的几何意义是曲线 $y = x^3$ 从 $x = -1$ 到 $x = 1$ 与x轴之间的面积的代数和。然而，由于 $x^3$ 是一个奇函数，x轴上方的面积与x轴下方的面积相等但符号相反，因此它们相互抵消，结果为零。所以，选项D是正确的，但不如选项A和B具体。
由于选项A和B都是正确的，但选项B是计算积分的正确方法，最具体和直接的答案是：
$\boxed{A}$
解析
步骤 1：分析选项A
函数 $f(x) = -11x^3$ 是一个奇函数，因为 $f(-x) = -11(-x)^3 = -11(-x^3) = -f(x)$。奇函数在关于原点对称的区间上的积分是零。因此，$\int_{-1}^{1} -11x^3 dx = 0$。所以，选项A是正确的。
步骤 2：分析选项B
函数 $f(x) = -11x^3$ 是一个奇函数，奇函数在关于原点对称的区间上的积分是零。因此，我们可以使用奇函数的性质来计算这个积分。所以，选项B是正确的。
步骤 3：分析选项C
函数 $f(x) = -11x^2$ 是一个偶函数，因为 $f(-x) = -11(-x)^2 = -11x^2 = f(x)$。偶函数在关于原点对称的区间上的积分是该函数在区间正半部分的积分的两倍。因此，$\int_{-1}^{1} -11x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} -11x^2 dx$。由于 $-11x^3$ 是一个奇函数，$\int_{-1}^{1} -11x^3 dx = 0$，这不等于 $\int_{-1}^{1} -11x^2 dx$。所以，选项C是不正确的。
步骤 4：分析选项D
定积分 $\int_{-1}^{1} -11x^3 dx$ 的几何意义是曲线 $y = -11x^3$ 从 $x = -1$ 到 $x = 1$ 与x轴之间的面积的代数和。然而，由于 $-11x^3$ 是一个奇函数，x轴上方的面积与x轴下方的面积相等但符号相反，因此它们相互抵消，结果为零。所以，选项D是正确的，但不如选项A和B具体。
函数 $f(x) = -11x^3$ 是一个奇函数，因为 $f(-x) = -11(-x)^3 = -11(-x^3) = -f(x)$。奇函数在关于原点对称的区间上的积分是零。因此，$\int_{-1}^{1} -11x^3 dx = 0$。所以，选项A是正确的。
步骤 2：分析选项B
函数 $f(x) = -11x^3$ 是一个奇函数，奇函数在关于原点对称的区间上的积分是零。因此，我们可以使用奇函数的性质来计算这个积分。所以，选项B是正确的。
步骤 3：分析选项C
函数 $f(x) = -11x^2$ 是一个偶函数，因为 $f(-x) = -11(-x)^2 = -11x^2 = f(x)$。偶函数在关于原点对称的区间上的积分是该函数在区间正半部分的积分的两倍。因此，$\int_{-1}^{1} -11x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} -11x^2 dx$。由于 $-11x^3$ 是一个奇函数，$\int_{-1}^{1} -11x^3 dx = 0$，这不等于 $\int_{-1}^{1} -11x^2 dx$。所以，选项C是不正确的。
步骤 4：分析选项D
定积分 $\int_{-1}^{1} -11x^3 dx$ 的几何意义是曲线 $y = -11x^3$ 从 $x = -1$ 到 $x = 1$ 与x轴之间的面积的代数和。然而，由于 $-11x^3$ 是一个奇函数，x轴上方的面积与x轴下方的面积相等但符号相反，因此它们相互抵消，结果为零。所以，选项D是正确的，但不如选项A和B具体。