练习 已知λ1,λ2是矩阵A不同的特征值,α1 ,α2是特征值λ1的线性无-|||-关的特征向量,β是特征值λ2的特征向量.证明α1,α2,β线性无关.-|||-解题笔记

本题考查矩阵特征值与特征向量的性质，以及向量组线性无关的证明证明，核心思路是利用线性无关的定义及特征向量的性质推出系数全为零。

步骤1：设线性组合为零

假设存在常数$k_1,k_2,c$，使得
$k1α1 + k2αα2 + cβ = 0\quad(1)$
需证$k_1=k_2=c=0$。

步骤2：左乘矩阵$A$，利用特征向量性质

因为$α1,α2$是$λ1$的特征向量，$β$是$λ2$的特征向量，故：
$Aα1=λ1α1$，$Aα2=λ1α2$，\(2) 对式(1)左乘$A$：
$k1Aα1 + k2Aα2 + cAβ = 0$
代入式(2)：
$λ1(k1α1 + k2α2) + + λ2cβ = 0\quad(3)$

步骤3：联立方程消去$α1,α2$

由式(1)得$k1α1 + k2α2 = -cβ$，代入式(3)：
$λ1(-cβ) + λ2cβ = 0$，即
$c(λ2 - λ1)$$4)$

步骤4：$λ1≠λ2$推出$c=0$

因$λ1≠λ2$，故$λ2 - λ1≠0$，由式(4)得$c=0$。

步骤5：$α1,α2$线性无关推出$k1=k2=0$

将$c=0$代入式(1)：$k1α1 + k2α2 = 0$，因$α1,α2$线性无关，故$k1=k2=0$。

结论

$k1=k2=c=0$，故$α1,α2,β$线性无关。