已知向量组 α1,α2,α3 线性无关 ,β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1, 证明：向量组 β1,β2,β3 线性无关。

考查要点：本题主要考查向量组线性相关性的判定方法，特别是通过线性组合法证明向量组线性无关的能力。

解题核心思路：
根据线性无关的定义，假设存在线性组合$k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$，将其展开后代入$\beta_i$的表达式，利用已知$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关的条件，得到关于$k_1, k_2, k_3$的齐次方程组。通过分析方程组解的情况，若只有零解，则$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性无关。

破题关键点：

1. 正确展开线性组合，将$\beta_i$用$\alpha_j$表示。
2. 构造齐次方程组并分析其解的唯一性。
3. 利用矩阵秩或行列式判断方程组是否有非零解。

步骤1：假设线性组合为零
设存在常数$k_1, k_2, k_3$，使得：
$k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$

步骤2：代入$\beta_i$的表达式
将$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$，$\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$代入，得：
$k_1(\alpha_1 + \alpha_2) + k_2(\alpha_2 + \alpha_3) + k_3(\alpha_3 + \alpha_1) = 0$

步骤3：整理同类项
合并$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的系数：
$(k_1 + k_3)\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 = 0$

步骤4：利用$\alpha$的线性无关性
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，其系数必须全为零：
$\begin{cases}k_1 + k_3 = 0 \\k_1 + k_2 = 0 \\k_2 + k_3 = 0\end{cases}$

步骤5：构造系数矩阵并化简
系数矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1\end{pmatrix}$
通过行变换化简为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$
秩为3，说明方程组只有零解。

结论：$k_1 = k_2 = k_3 = 0$，故$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性无关。