题目

2.设随机变量X的密度为-|||-f(x)= ) cx,0leqslant xleqslant 1 0, ;-|||-(4)X的分布函数F (x).

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查概率密度函数的性质、概率计算、对称点求解以及分布函数的构建。

解题核心思路：

  1. 确定常数c：利用概率密度函数的归一性（积分等于1）求解。
  2. 计算概率区间：直接对密度函数在区间内积分。
  3. 求对称点a：通过概率相等条件建立方程，解方程求a。
  4. 构建分布函数：分段积分密度函数，注意不同区间的积分结果。

破题关键点：

  • 归一性：密度函数积分总和为1。
  • 分段积分：计算概率时注意积分上下限是否在定义域内。
  • 对称点性质：概率相等时对应积分值为1/2。

第（1）题：求常数c

利用归一性

概率密度函数满足：
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
由于$f(x)=cx$仅在$[0,1]$区间非零，积分简化为：
$\int_{0}^{1} c x \, dx = 1$
计算得：
$\frac{c}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad c = 2$

第（2）题：求$P\{0.3 < X < 0.7\}$

积分计算

概率为密度函数在区间$[0.3, 0.7]$的积分：
$P\{0.3 < X < 0.7\} = \int_{0.3}^{0.7} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0.3}^{0.7} = 0.7^2 - 0.3^2 = 0.49 - 0.09 = 0.4$

第（3）题：求常数a

概率相等条件

由$P\{X > a\} = P\{X < a\}$，得：
$P\{X < a\} = \frac{1}{2}$
积分密度函数：
$\int_{0}^{a} 2x \, dx = a^2 = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{\sqrt{2}}$

第（4）题：求分布函数$F(x)$

分段积分

  • 当$x < 0$时：无密度贡献，$F(x) = 0$。
  • 当$0 \leq x < 1$时：
    $F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = x^2$
  • 当$x \geq 1$时：积分覆盖整个定义域，$F(x) = 1$。

综上：
$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\x^2, & 0 \leq x < 1 \\1, & x \geq 1 \end{cases}$