函数f(x,y)= dfrac (xy)({x)^2+(y)^2},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-0, ^2+(y)^2=0在点（0，0）处（）。 A.连续，偏导数存在 B.连续，偏导数不存在 C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在

考查要点：本题主要考查二元函数在某点的连续性和偏导数存在性的判断。

解题核心思路：

1. 连续性：通过不同路径趋近于原点，判断函数值的极限是否等于函数值（即$f(0,0)=0$）。若存在路径极限不同，则函数在该点不连续。
2. 偏导数存在性：直接利用偏导数定义计算$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$，判断极限是否存在。

破题关键点：

• 连续性：沿直线$y=kx$趋近原点时，极限值与$k$相关，说明极限不唯一，函数不连续。
• 偏导数：沿坐标轴方向趋近时，函数值为0，导致偏导数存在且为0。

连续性分析

1. 沿x轴趋近：令$y=0$，则$f(x,0)=\dfrac{x \cdot 0}{x^2+0}=0$，极限为$0$。
2. 沿y轴趋近：令$x=0$，则$f(0,y)=\dfrac{0 \cdot y}{0+y^2}=0$，极限为$0$。
3. 沿直线$y=kx$趋近：代入得：
   $f(x,kx)=\dfrac{x \cdot kx}{x^2+(kx)^2}=\dfrac{kx^2}{x^2(1+k^2)}=\dfrac{k}{1+k^2}$
   当$x \to 0$时，极限为$\dfrac{k}{1+k^2}$，与$k$相关。例如：
   • $k=0$时，极限为$0$；
   • $k=1$时，极限为$\dfrac{1}{2}$。
     结论：沿不同路径极限不同，故$f(x,y)$在$(0,0)$处不连续。

偏导数存在性分析

1. 计算$f_x(0,0)$：
   $f_x(0,0)=\lim_{h \to 0} \dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{0-0}{h} = 0$
2. 计算$f_y(0,0)$：
   $f_y(0,0)=\lim_{k \to 0} \dfrac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \dfrac{0-0}{k} = 0$
   结论：偏导数存在且均为$0$。