某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要学生理解事件之间的依赖关系，并能正确运用全概率公式进行计算。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：将问题中的合格品、次品及其误判概率转化为数学符号。
2. 应用贝叶斯定理：通过已知的误判概率和先验概率，计算后验概率。
3. 全概率公式：计算分母中的总概率，即被检查为合格品的总概率。

破题关键点：

• 正确识别条件概率关系，如合格品被误判为次品的概率是$P(\text{检查为次品} \mid H)$。
• 区分误判方向，避免混淆“合格品被误判为次品”和“次品被误判为合格品”的概率。

设事件定义如下：

• $H$：产品是合格品，$P(H) = 0.96$，则次品概率为$P(\neg H) = 1 - 0.96 = 0.04$。
• 检查结果相关概率：
  • 合格品被误判为次品的概率：$P(\text{检查为次品} \mid H) = 0.02$，因此合格品被正确判为合格品的概率为$P(\text{检查为合格品} \mid H) = 1 - 0.02 = 0.98$。
  • 次品被误判为合格品的概率：$P(\text{检查为合格品} \mid \neg H) = 0.05$，因此次品被正确判为次品的概率为$P(\text{检查为次品} \mid \neg H) = 1 - 0.05 = 0.95$。

目标：求在被检查为合格品的条件下，产品确实是合格品的概率，即$P(H \mid \text{检查为合格品})$。

应用贝叶斯定理：
$P(H \mid \text{检查为合格品}) = \frac{P(\text{检查为合格品} \mid H) \cdot P(H)}{P(\text{检查为合格品})}$

计算分母$P(\text{检查为合格品})$（全概率公式）：
$\begin{aligned}P(\text{检查为合格品}) &= P(\text{检查为合格品} \mid H) \cdot P(H) + P(\text{检查为合格品} \mid \neg H) \cdot P(\neg H) \\&= 0.98 \cdot 0.96 + 0.05 \cdot 0.04 \\&= 0.9408 + 0.002 \\&= 0.9428\end{aligned}$

代入贝叶斯公式：
$P(H \mid \text{检查为合格品}) = \frac{0.98 \cdot 0.96}{0.9428} = \frac{0.9408}{0.9428} \approx 0.998$