题目
罐中有6个分别标有号码1,1,2,2,2,3的球,从罐中随机地抽取两个球,用X记这两个球上的号码之和,用Y记这两个球上号码差的绝对值,求(1)写出X的概率分布,Y的概率分布; (2)求事件'X为4, Y为2'发生的概率;(3)求事件'在X为4时,Y为0'发生的概率.
罐中有6个分别标有号码1,1,2,2,2,3的球,从罐中随机地抽取两个球,用X记这两个球上的号码之和,用Y记这两个球上号码差的绝对值,求
(1)写出X的概率分布,Y的概率分布;
(2)求事件'X为4, Y为2'发生的概率;
(3)求事件'在X为4时,Y为0'发生的概率.
题目解答
答案
解：
(1)首先从6个球中抽取两个，共有
种情况，即完备空间为，然后分别分析事件X,Y发生的状况：
对X，共有2，3，4，5这四种情况，
①X=2：
;
②X=3：
③X=4：
④X=5：
对Y,共有，0，1，2这三种情况：
①Y=0,两个球数字相同：
②Y=1,两个球数字差为1：
③Y=2,两个球数字差为2：
综上，即可分别得X,Y的概率分布律如下：
(2)事件'X为4, Y为2'说明，抽出的两个球数字之和为4，之差为2，由此可得一个号码为3，一个号码为1，由此可得其概率为
(3)当X=4时，
又∵
∴
解析
步骤 1：计算X的概率分布
从罐中随机抽取两个球，共有${C}_{6}^{2} = 15$种情况。根据球的号码，X的可能值为2, 3, 4, 5。分别计算每种情况的概率。
- X=2：只能是两个1，概率为$\dfrac{1}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{1}{15}$。
- X=3：一个1和一个2，概率为$\dfrac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$。
- X=4：两个2或一个1和一个3，概率为$\dfrac{{C}_{3}^{2} + {C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$。
- X=5：一个2和一个3，概率为$\dfrac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$。
步骤 2：计算Y的概率分布
Y的可能值为0, 1, 2。分别计算每种情况的概率。
- Y=0：两个球号码相同，概率为$\dfrac{1 + {C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{4}{15}$。
- Y=1：两个球号码差为1，概率为$\dfrac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1} + {C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$。
- Y=2：两个球号码差为2，概率为$\dfrac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{2}{15}$。
步骤 3：计算事件'X为4, Y为2'发生的概率
X=4且Y=2，说明一个球号码为1，另一个为3，概率为$\dfrac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{2}{15}$。
步骤 4：计算事件'在X为4时,Y为0'发生的概率
X=4时，概率为$\dfrac{{C}_{3}^{2} + {C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{1}{3}$。X=4且Y=0，说明两个球号码为2，概率为$\dfrac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{1}{5}$。因此，条件概率为$\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{5}$。
从罐中随机抽取两个球，共有${C}_{6}^{2} = 15$种情况。根据球的号码，X的可能值为2, 3, 4, 5。分别计算每种情况的概率。
- X=2：只能是两个1，概率为$\dfrac{1}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{1}{15}$。
- X=3：一个1和一个2，概率为$\dfrac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$。
- X=4：两个2或一个1和一个3，概率为$\dfrac{{C}_{3}^{2} + {C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$。
- X=5：一个2和一个3，概率为$\dfrac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$。
步骤 2：计算Y的概率分布
Y的可能值为0, 1, 2。分别计算每种情况的概率。
- Y=0：两个球号码相同，概率为$\dfrac{1 + {C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{4}{15}$。
- Y=1：两个球号码差为1，概率为$\dfrac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1} + {C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$。
- Y=2：两个球号码差为2，概率为$\dfrac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{2}{15}$。
步骤 3：计算事件'X为4, Y为2'发生的概率
X=4且Y=2，说明一个球号码为1，另一个为3，概率为$\dfrac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{2}{15}$。
步骤 4：计算事件'在X为4时,Y为0'发生的概率
X=4时，概率为$\dfrac{{C}_{3}^{2} + {C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{1}{3}$。X=4且Y=0，说明两个球号码为2，概率为$\dfrac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}} = \dfrac{1}{5}$。因此，条件概率为$\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{5}$。