题目

设f(x)=ln(1-2x)/(1+3x)，则f(x)在x_(0)=0点处的n次泰勒多项式为____.

设$f(x)=\ln\frac{1-2x}{1+3x}$，则f(x)在x_{0}=0点处的n次泰勒多项式为____.

题目解答

答案

为了找到函数 $ f(x) = \ln \frac{1-2x}{1+3x} $ 在 $ x_0 = 0 $ 点处的 $ n $-次泰勒多项式，我们首先需要计算 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的各阶导数，然后使用泰勒多项式的公式。 泰勒多项式的一般形式为： \[ T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k \] ### 步骤1：计算 $ f(0) $ \[ f(0) = \ln \frac{1-2 \cdot 0}{1+3 \cdot 0} = \ln 1 = 0 \] ### 步骤2：计算 $ f'(x) $ 使用链式法则，我们有： \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln \frac{1-2x}{1+3x} \right) = \frac{1}{\frac{1-2x}{1+3x}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1-2x}{1+3x} \right) = \frac{1+3x}{1-2x} \cdot \frac{(-2)(1+3x) - (1-2x)(3)}{(1+3x)^2} = \frac{1+3x}{1-2x} \cdot \frac{-2 - 6x - 3 + 6x}{(1+3x)^2} = \frac{1+3x}{1-2x} \cdot \frac{-5}{(1+3x)^2} = \frac{-5}{(1-2x)(1+3x)} \] 现在，计算 $ f'(0) $： \[ f'(0) = \frac{-5}{(1-2 \cdot 0)(1+3 \cdot 0)} = \frac{-5}{1 \cdot 1} = -5 \] ### 步骤3：计算 $ f''(x) $ 使用商法则，我们有： \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-5}{(1-2x)(1+3x)} \right) = -5 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(1-2x)(1+3x)} \right) = -5 \cdot \frac{-(1+3x)^{-2} \cdot 3 - (1-2x)^{-2} \cdot (-2)}{(1-2x)^2 (1+3x)^2} = -5 \cdot \frac{-3(1-2x)^2 - 2(1+3x)^2}{(1-2x)^3 (1+3x)^3} = -5 \cdot \frac{3(1-2x)^2 + 2(1+3x)^2}{(1-2x)^3 (1+3x)^3} \] 现在，计算 $ f''(0) $： \[ f''(0) = -5 \cdot \frac{3(1-2 \cdot 0)^2 + 2(1+3 \cdot 0)^2}{(1-2 \cdot 0)^3 (1+3 \cdot 0)^3} = -5 \cdot \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 1}{1 \cdot 1} = -5 \cdot 5 = -25 \] ### 步骤4：计算 $ f'''(x) $ 由于 $ f''(x) $ 的表达式相当复杂，我们采用另一种方法来找到 $ f(x) $ 的泰勒级数。我们可以将 $ f(x) $ 写成两个对数函数的差： \[ f(x) = \ln (1-2x) - \ln (1+3x) \] 使用对数函数的泰勒级数展开： \[ \ln (1-2x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n} \] \[ \ln (1+3x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3x)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n x^n}{n} \] 因此： \[ f(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{2^n}{n} - \frac{(-1)^n 3^n}{n} \right) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n - 2^n}{n} x^n \] ### 步骤5：写出 $ n $-次泰勒多项式 $ f(x) $ 在 $ x_0 = 0 $ 点处的 $ n $-次泰勒多项式是该级数的前 $ n+1 $ 项： \[ T_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k 3^k - 2^k}{k} x^k \] ### 最终答案 \[ \boxed{\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k 3^k - 2^k}{k} x^k} \]

解析

本题考察函数在$x_0==0$点处的$n$次次泰勒多项式的求解，核心思路是利用对数函数的泰勒级数展开，将原函数分解为两个对数函数的差，再分别展开后合并同类项得到结果。

步骤1：分解函数

原函数$f(x)=\ln\frac{1-2x}{1+3x}$可拆分为：
$f(x)=\ln(1-2x)-\ln(1+3x)$

步骤2：利用对数函数的泰勒展开

已知$\ln(1+t)$的泰勒展开式为：
$\ln(1+t)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}t^k}{k}\quad(|t|<1)$

  • 对$\ln(1-2x)$，令$t=-2x$，得：
    $\ln(1-2x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}(-2x)^k}{k}=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^kx^k}{k}$

  • 对$\ln(1+3x)$，令$t=3x$，得：
    $\ln(1+3x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}(3x)^k}{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}3^kx^k}{k}$

步骤3：合并展开式

$\begin{align*}f(x)&=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^kx^k}{k}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}3^kx^k}{k}\\&=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^kx^k}{k}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k3^kx^k}{k}{}\\&=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^k3^k-2^k}{k}\right]x^k}\end{align*}$

步骤4：$n$次泰勒多项式

泰勒多项式取前$n$项（$k=1$到$n$），即：
$T_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k3^k-2^k}{k}x^k$