(2025,2)设矩阵 }1&2&02&a&00&0&b 有一个正特征值和两个负特征值，则(A)a>4,b>0. (B)a<4,b>0.(C)a>4,b<0. (D)a<4,b<0.

为了确定矩阵 $ \begin{bmatrix}1&2&0\\2&a&0\\0&0&b\end{bmatrix} $ 有一个正特征值和两个负特征值的条件，我们需要分析矩阵的特征值。矩阵的特征值是其特征多项式的根，特征多项式由矩阵减去特征值单位矩阵的行列式给出。 矩阵 $ A = \begin{bmatrix}1&2&0\\2&a&0\\0&0&b\end{bmatrix} $ 的特征多项式为： \[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}1-\lambda & 2 & 0 \\ 2 & a-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & b-\lambda\end{bmatrix}. \] 由于矩阵是块对角的，行列式是其对角块行列式的乘积： \[ \det(A - \lambda I) = \left( \det \begin{bmatrix}1-\lambda & 2 \\ 2 & a-\lambda\end{bmatrix} \right) (b-\lambda). \] 2x2矩阵的行列式为： \[ \det \begin{bmatrix}1-\lambda & 2 \\ 2 & a-\lambda\end{bmatrix} = (1-\lambda)(a-\lambda) - 4 = \lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4). \] 因此，特征多项式为： \[ (\lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4))(b-\lambda). \] 特征值是方程的根： \[ (\lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4))(b-\lambda) = 0. \] 这给出了特征值 $ \lambda = b $ 和二次方程 $ \lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4) = 0 $ 的根。二次方程的根为： \[ \lambda = \frac{(a+1) \pm \sqrt{(a+1)^2 - 4(a-4)}}{2} = \frac{(a+1) \pm \sqrt{a^2 + 2a + 1 - 4a + 16}}{2} = \frac{(a+1) \pm \sqrt{a^2 - 2a + 17}}{2}. \] 由于 $ a^2 - 2a + 17 = (a-1)^2 + 16 $ 总是正的，二次方程的根是实数且不同。为了使矩阵有一个正特征值和两个负特征值，我们需要考虑以下情况： 1. $ b $ 是正特征值，二次方程的根是负的。 2. $ b $ 是负特征值，二次方程的根之一是正的，另一个是负的。 **情况1：$ b $ 是正特征值，二次方程的根是负的。** 如果 $ b > 0 $，那么二次方程的根必须都是负的。二次方程 $ \lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4) = 0 $ 的根的和为 $ a+1 $（由韦达定理），根的乘积为 $ a-4 $。为了使两个根都是负的，它们的和必须是负的，它们的乘积必须是正的： \[ a+1 < 0 \quad \text{和} \quad a-4 > 0. \] 然而，这两个条件不能同时满足，因为 $ a < -1 $ 与 $ a > 4 $ 矛盾。因此，这种情况是不可能的。 **情况2：$ b $ 是负特征值，二次方程的根之一是正的，另一个是负的。** 如果 $ b < 0 $，那么二次方程的根必须有一个正的和一个负的。二次方程的根的乘积为 $ a-4 $。为了使根有一个正的和一个负的，它们的乘积必须是负的： \[ a-4 < 0. \] 因此，$ a < 4 $。 因此，矩阵有一个正特征值和两个负特征值的条件是 $ a < 4 $ 和 $ b < 0 $。正确答案是： \[ \boxed{D} \]