1.计算:(3x+y+2)(3x-y-2).2.已知(3x+y+2)(3x-y-2).求（a+b-c）²。3.设x>0,且(3x+y+2)(3x-y-2).求(3x+y+2)(3x-y-2).的值。4.已知实数x满足(3x+y+2)(3x-y-2).求(3x+y+2)(3x-y-2).的值。

1. 多项式乘法：利用平方差公式，将式子转化为两部分的平方差，简化计算。
2. 代数恒等式：展开平方后，结合已知条件整体代入。
3. 分式与根式的转化：通过平方关系，将高次方程转化为低次表达式。
4. 变量代换法：通过设中间变量简化方程，结合立方公式求解。

1. 计算 $(3x + y + 2)(3x - y - 2)$

观察结构，分组处理

将式子看作 $[3x + (y + 2)][3x - (y + 2)]$，符合平方差公式 $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。

应用公式展开

$\begin{aligned}(3x)^2 - (y + 2)^2 &= 9x^2 - (y^2 + 4y + 4) \\&= 9x^2 - y^2 - 4y - 4.\end{aligned}$

2. 已知 $a^2 + b^2 + c^2 = 8$，$ab - bc - ca = 4$，求 $(a + b - c)^2$

展开平方表达式

$(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca.$

代入已知条件

$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 &= 8, \\2(ab - bc - ca) &= 2 \times 4 = 8.\end{aligned}$

合并结果

$8 + 8 = 16.$

3. 设 $x > 0$，且 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 14$，求 $x + \dfrac{1}{x}$ 的值

平方关系转化

$\left( x + \dfrac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 14 + 2 = 16.$

取正根

$x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{16} = 4.$

4. 已知 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 3x - \dfrac{3}{x} + 2 = 0$，求 $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ 的值

设中间变量

令 $t = x - \dfrac{1}{x}$，则 $t^2 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2}$，即 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 + 2$。

代入方程

$(t^2 + 2) - 3t + 2 = 0 \implies t^2 - 3t + 4 = 0.$

解方程并验证

判别式 $\Delta = 9 - 16 = -7$，无实根，故需重新设变量。

另设变量 $t = x + \dfrac{1}{x}$

原方程变形为：
$(t^2 - 2) - 3t + 2 = 0 \implies t^2 - 3t = 0 \implies t = 0 \text{ 或 } t = 3.$
因 $x > 0$，故 $t = 3$。

求立方值

$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = t^3 - 3t = 27 - 9 = 18.$