[题目]设 |overrightarrow (a)|=3,, |overrightarrow (b)|=4,, |overrightarrow (c)|=5, 且满足-|||-overrightarrow (a)+overrightarrow (b)+overrightarrow (c)=0, 则 |overrightarrow (a)times overrightarrow (b)+overrightarrow (b)times overrightarrow (c)+overrightarrow (c)times overrightarrow (a)|= __ .

本题主要考察向量的模、向量数量积、、向量叉积的性质以及向量运算的综合应用，关键是利用已知已知条件推导向量间的关系并转化所求表达式。。

步骤1：分析已知条件，推导向量模长关系

已知 $|\overrightarrow{a}|=3\overrightarrow{3}$、、$|\overrightarrow{b}|=4$、$|\overrightarrow{c}|=5$，且 $\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$)，则 $\overrightarrow{c}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$。
对 $\overrightarrow{c}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ 两边取模的平方：
$|\overrightarrow{c}|^2=|-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|2=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|2$
展开得：
$|\overrightarrow{c}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$
代入 $|\overrightarrow{a}|=3$、$|\overrightarrow{b}|=4$、$|\overrightarrow{c}|=5$：
$25=9+16+22\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\implies2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\implies\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$
即 $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}$（$\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 垂直）。

步骤2：转化所求表达式 $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}$

将 $\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 代入：
$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\times(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{b}$
因 $\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，且 $-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}$（叉积反交换律），故：
$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$

同理：
$\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}=(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{0}-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}}$

步骤3：计算模长

代入原式：
$\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=3(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$
取模长为：
$|3(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})|=3|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|$
由叉积模长公式 $|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\theta\theta$（$\theta$ 为夹角），因 $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，$\sin\theta=1$，故：
$|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=3\times4\times1=12$
最终：
$|3(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})|=3\times12=36$