已知向量组0 1-|||-A:α1= 1 ,α2= 1-|||-1 0；0 1-|||-A:α1= 1 ,α2= 1-|||-1 0，证明向量组0 1-|||-A:α1= 1 ,α2= 1-|||-1 0与向量组0 1-|||-A:α1= 1 ,α2= 1-|||-1 0等价。

考查要点：本题主要考查向量组等价的判定方法，核心在于利用矩阵的秩来判断两个向量组是否可以互相线性表示。

解题思路：

1. 向量组等价的定义是两个向量组可以互相线性表示。
2. 构造增广矩阵 $\begin{pmatrix} A & | & B \end{pmatrix}$，通过初等行变换化简矩阵。
3. 若化简后满足 $r(A) = r(B) = r(A|B)$，则向量组等价。

破题关键：

• 秩的比较：通过行变换确定 $A$、$B$ 及增广矩阵的秩是否相等。
• 初等行变换的应用需保证秩不变，最终通过非零行个数判断秩。

构造增广矩阵并化简

设增广矩阵为 $\begin{pmatrix} A & | & B \end{pmatrix}$，具体形式为：
$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} & | & b_{31} & b_{32} & \cdots & b_{3n}\end{pmatrix}$

步骤1：交换第一行与第三行

$\begin{pmatrix}a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} & | & b_{31} & b_{32} & \cdots & b_{3n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\end{pmatrix}$

步骤2：第一行的$-1$倍加到第二行

第二行新元素为：$a_{2i} - a_{3i}$，对应$B$部分同理。

步骤3：第二行的$-1$倍加到第三行

第三行新元素为：$a_{1i} - (a_{2i} - a_{3i})$，对应$B$部分同理。

分析秩的关系

化简后矩阵的非零行个数为：

• $r(A)$：矩阵$A$的秩，
• $r(B)$：矩阵$B$的秩，
• $r(A|B)$：增广矩阵的秩。

若 $r(A) = r(B) = r(A|B)$，则向量组可互相线性表示，从而等价。