在下列何种情况下,齐次线性方程组 } kx_1 + 2x_2 + x_3 = 0 2x_1 + kx_2 = 0 x_1 - x_2 + x_3 = 0 仅有零解 ( )A. k neq -2B. k neq 3C. k neq -2 或 k neq 3D. k neq -2 且 k neq 3

我们来分析这个齐次线性方程组：

$\begin{cases}k x_1 + 2 x_2 + x_3 = 0 \\2 x_1 + k x_2 + 0 \cdot x_3 = 0 \\x_1 - x_2 + x_3 = 0\end{cases}$

这是一个齐次线性方程组，形式为 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $。

我们知道：
> 齐次线性方程组仅有零解（即唯一解是 $ x_1 = x_2 = x_3 = 0 $）的充要条件是：
> 系数矩阵 $ A $ 的行列式不为零，即 $ \det(A) \ne 0 $。

第一步：写出系数矩阵 $ A $

根据方程组，系数矩阵为：

$A = \begin{bmatrix}k & 2 & 1 \\2 & k & 0 \\1 & -1 & 1\end{bmatrix}$

第二步：计算行列式 $ \det(A) $

我们计算这个 3×3 矩阵的行列式：

$\det(A) = \begin{vmatrix}k & 2 & 1 \\2 & k & 0 \\1 & -1 & 1\end{vmatrix}$

使用按第三列展开（因为第三列有一个 0，计算更方便）：

第三列元素为：1, 0, 1，对应的代数余子式为：

$\det(A) = 1 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 0 \cdot (\cdots) + 1 \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix}$

计算：

第一项：
$\begin{vmatrix} 2 & k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - k \cdot 1 = -2 - k$
符号是 $ (+1) $，所以第一项为 $ -2 - k $

第三项：
$\begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} = k \cdot k - 2 \cdot 2 = k^2 - 4$
符号是 $ +1 $，所以第三项为 $ k^2 - 4 $

因此：

$\det(A) = (-2 - k) + (k^2 - 4) = k^2 - k - 6$

第三步：分析行列式何时不为零

$\det(A) = k^2 - k - 6 = (k - 3)(k + 2)$

所以：

• 当 $ (k - 3)(k + 2) \ne 0 $，即 $ k \ne 3 $ 且 $ k \ne -2 $ 时，$ \det(A) \ne 0 $，方程组仅有零解。
• 当 $ k = 3 $ 或 $ k = -2 $ 时，$ \det(A) = 0 $，方程组有非零解（无穷多解）。

第四步：回答问题

题目问：在什么情况下，方程组仅有零解？

答案是：当 $ k \ne 3 $ 且 $ k \ne -2 $ 时。

即：k 不能等于 3，也不能等于 -2

选项分析：

A. $ k \ne -2 $：不充分，若 $ k = 3 $ 仍不行 → 错

B. $ k \ne 3 $：不充分，若 $ k = -2 $ 也不行 → 错

C. $ k \ne -2 $ 或 $ k \ne 3 $：这个“或”总是成立（除非 $ k $ 同时等于 -2 和 3，不可能），所以这个条件对几乎所有 $ k $ 都成立，但比如 $ k = 3 $ 满足“$ k \ne -2 $”，但此时行列式为 0，不满足仅有零解 → 错

D. $ k \ne -2 $ 且 $ k \ne 3 $：正确！这正是 $ \det(A) \ne 0 $ 的条件

✅ 正确答案是：D

$\boxed{D}$