[题目]求函数 =(x)^2+(y)^2+(z)^2 在约束条件 =(x)^2+(y)^2 和-|||-x+y+z=4 下的最大值与最小值.

考查要点：本题主要考查多元函数在多个约束条件下的极值求解，需要综合运用拉格朗日乘数法或代入消元法，结合代数运算和方程组求解能力。

解题核心思路：

1. 约束条件联立：将两个约束条件联立，消去变量（如z），转化为仅含两个变量的优化问题。
2. 构造拉格朗日函数：引入拉格朗日乘数，对目标函数和约束条件组合求导，解方程组找到驻点。
3. 对称性分析：观察变量对称性（如x=y），简化方程求解过程。
4. 极值验证：代入临界点计算目标函数值，比较得出最值。

破题关键点：

• 联立约束条件消元，降低变量维度。
• 利用对称性减少未知数数量。
• 验证所有可能解，确保不遗漏极值点。

方法一：拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数：
$F(x,y,z,\lambda,\mu) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(x^2 + y^2 - z) + \mu(x + y + z - 4)$
对各变量求偏导并令其为零：
$\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + 2\lambda x + \mu = 0 \\\frac{\partial F}{\partial y} = 2y + 2\lambda y + \mu = 0 \\\frac{\partial F}{\partial z} = 2z - \lambda + \mu = 0 \\x^2 + y^2 = z \\x + y + z = 4\end{cases}$

关键步骤：

1. 对称性假设：由前两式相减得 $(x - y)(2 - 2\lambda) = 0$，若 $x \neq y$，则 $\lambda = 1$，但后续求解复杂，故优先假设 $x = y$。
2. 代入对称条件：设 $x = y$，则 $z = 2x^2$，代入 $x + x + 2x^2 = 4$，得 $x^2 + x - 2 = 0$，解得 $x = 1$ 或 $x = -2$。
3. 求对应点：
   • $x = y = 1$ 时，$z = 2$，对应 $u = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6$。
   • $x = y = -2$ 时，$z = 8$，对应 $u = (-2)^2 + (-2)^2 + 8^2 = 72$。

方法二：代入消元法

1. 联立约束条件：由 $z = x^2 + y^2$ 和 $x + y + z = 4$，得 $x + y + x^2 + y^2 = 4$。
2. 目标函数转化：$u = x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)^2$，记 $t = x^2 + y^2$，则 $u = t + t^2$，约束为 $x + y + t = 4$。
3. 极值分析：
   • 由柯西不等式 $t \geq \frac{(x + y)^2}{2}$，结合 $x + y = 4 - t$，得 $t \geq \frac{(4 - t)^2}{2}$，解得 $t = 2$ 或 $t = 8$。
   • 对应 $u = 6$ 或 $u = 72$。