2.给出以下4个命题①若lim_(ntoinfty)a_n=a，则当n充分大时，|a_n-a|0，当n充分大时，|a_n-a|0，当n充分大时，|a_n-a|A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.

本题考查数列极限的定义及其应用。核心思路在于理解极限定义中的“对于任意给定的$\epsilon>0$，存在$N$使得当$n>N$时，$|a_n - a| < \epsilon$”这一条件。需要判断每个命题是否符合极限定义的逻辑，特别注意命题中的不等式是否可以通过调整$N$的大小来满足。

关键点：

1. 极限定义的本质：允许$\epsilon$任意小，但必须存在对应的$N$。
2. 命题①：$\frac{1}{1000!}$是固定正数，符合$\epsilon$的任意性。
3. 命题②：$\frac{\epsilon}{100}$比原$\epsilon$更小，可能无法满足。
4. 命题③：$100\epsilon$比原$\epsilon$更大，必然满足。
5. 命题④：$\frac{1000!}{n}$随$n$增大趋近于$0$，但可通过调整$N$使其成立。

命题①分析

• 条件：$\lim_{n\to\infty}a_n = a$。
• 结论：当$n$充分大时，$|a_n - a| < \frac{1}{1000!}$。
• 判断：$\frac{1}{1000!}$是一个固定的正数，根据极限定义，存在$N$使得当$n > N$时，$|a_n - a| < \frac{1}{1000!}$。命题正确。

命题②分析

• 条件：$\lim_{n\to\infty}a_n = a$。
• 结论：对任意$\epsilon > 0$，当$n$充分大时，$|a_n - a| < \frac{\epsilon}{100}$。
• 判断：原极限定义保证存在$N$使得$|a_n - a| < \epsilon$，但$\frac{\epsilon}{100}$比$\epsilon$更小，无法保证存在这样的$N$。命题错误。

命题③分析

• 条件：$\lim_{n\to\infty}a_n = a$。
• 结论：对任意$\epsilon > 0$，当$n$充分大时，$|a_n - a| < 100\epsilon$。
• 判断：根据极限定义，存在$N$使得$|a_n - a| < \epsilon$，而$100\epsilon > \epsilon$，因此必然满足$|a_n - a| < 100\epsilon$。命题正确。

命题④分析

• 条件：$\lim_{n\to\infty}a_n = a$。
• 结论：当$n$充分大时，$|a_n - a| < \frac{1000!}{n}$。
• 判断：$\frac{1000!}{n}$随$n$增大趋近于$0$，但根据极限定义，对任意$\epsilon = \frac{1000!}{n}$，存在$N$使得当$n > N$时，$|a_n - a| < \frac{1000!}{n}$。命题正确。