在区间(-∞,+∞)内,方程|x|1/4+|x|1/2-cosx=0( ).A. 无实根B. 有且仅有一个实根C. 有且仅有两个实根D. 有无穷多个实根

考查要点：本题主要考查函数图像的交点问题，涉及绝对值函数、幂函数与余弦函数的综合分析，以及方程实根个数的判断。

解题核心思路：

1. 对称性分析：方程中的绝对值使得函数关于y轴对称，只需分析$x \geq 0$的情况，再对称得到$x < 0$的情况。
2. 函数单调性与极值：分析左边函数$f(x) = |x|^{1/4} + |x|^{1/2}$和右边函数$g(x) = \cos x$的增长趋势与波动特性。
3. 区间限定：利用$\cos x \geq 0$的条件，限定$x$的取值范围，结合左右两边函数的大小关系，确定可能的解区间。

破题关键点：

• 非负性：左边为非负数，右边$\cos x$必须非负，故$x$需位于$\cos x \geq 0$的区间。
• 单调性对比：当$x > 0$时，左边随$x$增大单调递增，而右边$\cos x$在$[0, \pi/2)$内单调递减，两者必有一个交点。
• 对称性：正负区间各有一个解，总计两个实根。

步骤1：分析方程对称性

方程左边为$|x|^{1/4} + |x|^{1/2}$，右边为$\cos x$。由于左边仅含$|x|$，函数关于$y$轴对称，故只需分析$x \geq 0$的情况，再对称得到$x < 0$的解。

步骤2：限定$x$的取值范围

左边非负，故$\cos x \geq 0$，即$x \in [-\pi/2 + 2k\pi, \pi/2 + 2k\pi]$（$k$为整数）。但当$|x|$较大时，左边增长而$\cos x$波动于$[-1,1]$，故主要关注$|x|$较小的区间。

步骤3：分析$x \geq 0$的情况

令$f(x) = x^{1/4} + x^{1/2}$，$g(x) = \cos x$：

• 当$x = 0$时：$f(0) = 0$，$g(0) = 1$，$f(0) < g(0)$。
• 当$x = 1$时：$f(1) = 1 + 1 = 2$，$g(1) \approx 0.5403$，$f(1) > g(1)$。
• 当$x = \pi/2 \approx 1.5708$时：$f(\pi/2) \approx 2.369$，$g(\pi/2) = 0$，$f(\pi/2) > g(\pi/2)$。

由中间值定理，在$(0, \pi/2)$内存在唯一解。当$x > \pi/2$时，$\cos x < 0$，而$f(x) > 0$，无解。

步骤4：对称性推广到$x < 0$

由对称性，$x < 0$时方程形式相同，在$(-\pi/2, 0)$内存在唯一解。

步骤5：排除其他可能解

当$|x| > \pi/2$时，$\cos x$为负或波动于$[-1,1]$，而$f(x)$随$|x|$增大而增长，故无解。