例：求一个正交变换x=Py，把二次型f=-2x_(1)x_(2)+2x_(1)x_(3)+2x_(2)x_(3)化为标准形.

本题考查二次型通过正交变换化为标准形的知识点。解题思路是先根据二次型写出其对应的二次型矩阵，然后求出该矩阵的特征值，接着针对每个特征值求出对应的特征向量，对于重特征值对应的特征向量需要进行正交化处理，最后将所有特征向量单位化，以这些单位化后的特征向量为列向量构成正交矩阵，从而得到正交变换，二次型的标准形就是由特征值构成的。

1. 写出二次型矩阵 $A$

对于二次型 $f = -2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$，根据二次型矩阵的定义，二次型矩阵 $A$ 中 $a_{ij}$ 为 $x_{i}x_{j}$ 系数的一半（$i\neq j$），$a_{ii}$ 为 $x_{i}^{2}$ 的系数。所以二次型矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。

2. 求矩阵 $A$ 的特征值

计算特征方程 $|A - \lambda E| = 0$，其中 $E$ 为三阶单位矩阵，即：
$\begin{align*}|A - \lambda E|&=\begin{vmatrix}-\lambda & -1 & 1 \\-1 & -\lambda & 1 \\1 & 1 & -\lambda\end{vmatrix}\\&=-\lambda\begin{vmatrix}-\lambda & 1 \\1 & -\lambda\end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix}-1 & 1 \\1 & -\lambda\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}-1 & -\lambda \\1 & 1\end{vmatrix}\\&=-\lambda(\lambda^{2}-1)+(-\lambda + 1)+(-1+\lambda)\\&=-\lambda^{3}+\lambda-\lambda + 1 - 1+\lambda\\&=-\lambda^{3}+\lambda\\&=-\lambda(\lambda^{2}-1)\\&=-\lambda(\lambda - 1)(\lambda + 1)\end{align*}$
令 $|A - \lambda E| = 0$，即 $-\lambda(\lambda - 1)(\lambda + 1)=0$，解得 $\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$。

3. 求特征向量

• 对于 $\lambda_1 = -2$
  将 $\lambda_1 = -2$ 代入 $(A - \lambda E)X = 0$，即 \(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)。
  对系数矩阵进行初等行变换：
  \(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_1 + 2r_2}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_3 + r_2}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_3 - r_1}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_1\div3}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_2 - 2r_1}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
  得到同解方程组 $\begin{cases}x_2 + x_3 = 0\\-x_1 - x_3 = 0\end{cases}$，令 $x_3 = 1$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = -1$，所以特征向量 $\xi_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
  单位化得 $p_1 = \frac{\xi_1}{|\xi_1|}=\frac{1}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
• 对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = 1$
  将 $\lambda_2 = \lambda_3 = 1$ 代入 $(A - \lambda E)X = 0$，即 \(\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)。
  对系数矩阵进行初等行变换：
  \(\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_2 - r_1}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_3 + r_1}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
  得到同解方程组 $-x_1 - x_2 + x_3 = 0$，令 $x_2 = -1$，$x_3 = 0$，解得 $x_1 = 1$，得到特征向量 $\xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$；令 $x_2 = 0$，$x_3 = 1$，解得 $x_1 = 1$，得到特征向量 $\xi_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
  使用施密特正交化方法对 $\xi_2$，$\xi_3$ 正交化：
  $\eta_2 = \xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
  $\eta_3 = \xi_3-\frac{(\xi_3,\eta_2)}{(\eta_2,\eta_2)}\eta_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}-\frac{-1\times1 + 0\times1+1\times0}{(-1)^2 + 1^2+0^2}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$
  单位化得 $p_2 = \frac{\eta_2}{|\eta_2|}=\frac{1}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$p_3 = \frac{\eta_3}{|\eta_3|}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2+1^2}}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$。

4. 构造正交矩阵 $P$

以 $p_1$，$p_2$，$p_3$ 为列向量构成正交矩阵 $P = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$。

5. 得到正交变换和标准形

正交变换为 $x = Py$，标准形为 $f = \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2=-2y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$。