下列集合是区域的是 （ ）( A ) ( B ) ( C ) ( D )

区域在复平面上指的是满足以下两个条件的集合：

1. 开集：集合中的每一点都存在一个邻域完全包含在该集合内；
2. 连通：集合中任意两点均可通过连续路径连接。

本题需判断选项中哪些集合是区域。关键在于分析每个选项的几何意义：

• 选项A：若取值范围为 $[-1,0) \cup (0,1]$，需判断是否为开集且连通；
• 选项B：$1 < \text{Re}z < 3$ 对应实部在 $(1,3)$ 之间的复数，是垂直带状区域；
• 选项C：$0 \leqslant \text{Im}z < 3$ 对应虚部在 $[0,3)$ 之间的复数，是水平带状区域；
• 选项D：$\dfrac{1}{2} \leqslant |z| < 1$ 对应模长在 $[\dfrac{1}{2},1)$ 之间的复数，是圆环区域。

关键点：若集合包含边界点（如闭区间），则可能破坏开集性质；若集合不连通（如分离的区间），则不是区域。

选项分析

选项A

• 取值范围：$[-1,0) \cup (0,1]$。
• 分析：该集合由两个分离的区间组成，不连通，因此不是区域。

选项B

• 取值范围：实部 $\text{Re}z \in (1,3)$。
• 分析：对应复平面上垂直于实轴的带状区域，是开集且连通，是区域。

选项C

• 取值范围：虚部 $\text{Im}z \in [0,3)$。
• 分析：包含虚部下限 $0$（闭区间），但整体仍为开集且连通，是区域。

选项D

• 取值范围：模长 $|z| \in [\dfrac{1}{2},1)$。
• 分析：包含内圆边界 $\dfrac{1}{2}$（闭区间），破坏开集性质，不是区域。