题目

例24.（I）比较int_(0)^1|ln t|[ln(1+t)]^ndt与int_(0)^1t^n|ln t|dt(n=1,2,...)的大小，说明理由；（II）记u_(n)=int_(0)^1|ln t|[ln(1+t)]^ndt(n=1,2,...)，求极限lim_(ntoinfty)u_(n).

例24.（I）比较$\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln(1+t)]^{n}dt$与$\int_{0}^{1}t^{n}|\ln t|dt(n=1,2,\cdots)$的大小，说明理由； （II）记$u_{n}=\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln(1+t)]^{n}dt(n=1,2,\cdots)$，求极限$\lim_{n\to\infty}u_{n}$.

题目解答

答案

**解：** **(Ⅰ) 比较积分大小：** 当 $0 \leq t \leq 1$ 时，有 $0 \leq \ln(1+t) \leq t$。因此， \[ 0 \leq [\ln(1+t)]^n \leq t^n, \] 两边乘以 $|\ln t|$（非负）得 \[ 0 \leq |\ln t| [\ln(1+t)]^n \leq t^n |\ln t|. \] 积分得 \[ \int_0^1 |\ln t| [\ln(1+t)]^n \, dt \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt. \] **(Ⅱ) 求极限：** 令 $u_n = \int_0^1 |\ln t| [\ln(1+t)]^n \, dt$，则 \[ 0 \leq u_n \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt. \] 计算右边积分： \[ \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt = \frac{1}{(n+1)^2} \to 0 \quad (n \to \infty). \] 由夹逼准则，得 \[ \lim_{n \to \infty} u_n = 0. \] **答案：** \[ \boxed{0} \]

解析

考查要点：
本题主要考查积分比较法和夹逼定理的应用，涉及对数函数的性质及积分收敛性的分析。

解题核心思路：

  1. 比较积分大小：通过构造不等式，利用$\ln(1+t) \leq t$这一基本不等式，结合被积函数的非负性，直接比较被积表达式的大小关系。
  2. 求极限：通过夹逼定理，结合已比较的积分结果，计算右侧积分的具体表达式并分析其极限，从而确定原积分的极限值。

破题关键点：

  • 不等式选择：正确应用$\ln(1+t) \leq t$（$t \in [0,1]$），并推广到$n$次方形式。
  • 积分计算技巧：利用变量替换或已知积分公式计算$\int_0^1 t^n |\ln t| dt$，得出其表达式为$\frac{1}{(n+1)^2}$。

（I）比较积分大小

关键步骤：

  1. 构造不等式：
    当$0 \leq t \leq 1$时，$\ln(1+t) \leq t$（可通过函数单调性证明）。
    取$n$次方得：$[\ln(1+t)]^n \leq t^n$。

  2. 乘以非负因子：
    由于$|\ln t| \geq 0$（$t \in (0,1)$），两边乘以$|\ln t|$后不等式方向不变：
    $|\ln t|[\ln(1+t)]^n \leq t^n |\ln t|.$

  3. 积分比较：
    对不等式两边在$[0,1]$上积分，直接得到：
    $\int_0^1 |\ln t|[\ln(1+t)]^n dt \leq \int_0^1 t^n |\ln t| dt.$

（II）求极限$\lim_{n \to \infty} u_n$

关键步骤：

  1. 利用夹逼定理：
    由（I）知$0 \leq u_n \leq \int_0^1 t^n |\ln t| dt$。

  2. 计算右侧积分：
    通过变量替换或已知积分公式，得：
    $\int_0^1 t^n |\ln t| dt = \frac{1}{(n+1)^2}.$

  3. 分析极限：
    当$n \to \infty$时，$\frac{1}{(n+1)^2} \to 0$，因此由夹逼定理得：
    $\lim_{n \to \infty} u_n = 0.$