题目

设下面所考虑的函数都是定义在区间-1,1)上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数

设下面所考虑的函数都是定义在区间 $\left(-l,l\right)$ 上的，证明：

（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数

（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数

题目解答

答案

（1）设 $F\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$

1.如果 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 都是偶函数，则

$F\left(-x\right)=f\left(-x\right)+g\left(-x\right)$

$=f\left(x\right)+g\left(x\right)=F\left(x\right)$

所以 $F\left(x\right)$ 为偶函数，即两个偶函数的和是偶函数

2.如果 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 都是奇函数，则

$F\left(-x\right)=f\left(-x\right)+g\left(-x\right)$

$=-f\left(x\right)-g\left(x\right)=-F\left(x\right)$

所以 $F\left(x\right)$ 为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数

(2)设 $F\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)$

1.如果 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 都是偶函数，则 $F\left(-x\right)=f\left(-x\right)g\left(-x\right)$

$=f\left(x\right)g\left(x\right)=F\left(x\right)$

所以 $F\left(x\right)$ 为偶函数，即两个偶函数的乘积是偶函数

2.如果 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 都是奇函数，则

$F\left(-x\right)=f\left(-x\right)g\left(-x\right)$

$=\left[-f\left(x\right)\right]\left[-g\left(x\right)\right]=f\left(x\right)g\left(x\right)=F\left(x\right)$

所以 $F\left(x\right)$ 为奇函数，即两个奇函数的乘积是奇函数

3.如果 $f\left(x\right)$ 是偶函数， $g\left(x\right)$ 都是奇函数，则 $F\left(-x\right)=f\left(-x\right)g\left(-x\right)$

$=f\left(x\right)\left[-g\left(x\right)\right]=-f\left(x\right)g\left(x\right)=-F\left(x\right)$

所以 $F\left(x\right)$ 为奇函数，即偶函数与奇函数的乘积是奇函数

通过以上分析即可推出正确结论

解析

步骤 1：定义偶函数和奇函数
偶函数定义：对于函数$f(x)$，如果对于所有$x$，都有$f(-x) = f(x)$，则$f(x)$是偶函数。
奇函数定义：对于函数$f(x)$，如果对于所有$x$，都有$f(-x) = -f(x)$，则$f(x)$是奇函数。

步骤 2：证明两个偶函数的和是偶函数
设$f(x)$和$g(x)$都是偶函数，即$f(-x) = f(x)$和$g(-x) = g(x)$。
定义$F(x) = f(x) + g(x)$，则$F(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = F(x)$，所以$F(x)$是偶函数。

步骤 3：证明两个奇函数的和是奇函数
设$f(x)$和$g(x)$都是奇函数，即$f(-x) = -f(x)$和$g(-x) = -g(x)$。
定义$F(x) = f(x) + g(x)$，则$F(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)) = -F(x)$，所以$F(x)$是奇函数。

步骤 4：证明两个偶函数的乘积是偶函数
设$f(x)$和$g(x)$都是偶函数，即$f(-x) = f(x)$和$g(-x) = g(x)$。
定义$F(x) = f(x)g(x)$，则$F(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = F(x)$，所以$F(x)$是偶函数。

步骤 5：证明两个奇函数的乘积是偶函数
设$f(x)$和$g(x)$都是奇函数，即$f(-x) = -f(x)$和$g(-x) = -g(x)$。
定义$F(x) = f(x)g(x)$，则$F(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) = F(x)$，所以$F(x)$是偶函数。

步骤 6：证明偶函数与奇函数的乘积是奇函数
设$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，即$f(-x) = f(x)$和$g(-x) = -g(x)$。
定义$F(x) = f(x)g(x)$，则$F(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x) = -F(x)$，所以$F(x)$是奇函数。