设下面所考虑的函数都是定义在区间-1,1)上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数

考查要点：本题主要考查函数奇偶性的定义及其运算性质，需要根据偶函数和奇函数的定义，通过代数运算验证和与乘积的奇偶性。

解题核心思路：

1. 偶函数定义：$f(-x) = f(x)$；
2. 奇函数定义：$f(-x) = -f(x)$；
3. 关键操作：对和或乘积函数进行变量替换$-x$，结合原函数的奇偶性，推导结果的奇偶性。

破题关键点：

• 和的奇偶性：通过逐项代入定义，符号叠加判断整体性质；
• 乘积的奇偶性：通过符号相乘规律，结合偶函数与奇函数的符号特性推导结果。

第（1）题：和的奇偶性

设和函数为$F(x) = f(x) + g(x)$

1. 若$f(x)$和$g(x)$均为偶函数：
   $F(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = F(x)$
   因此$F(x)$是偶函数。

2. 若$f(x)$和$g(x)$均为奇函数：
   $F(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -F(x)$
   因此$F(x)$是奇函数。

第（2）题：乘积的奇偶性

设乘积函数为$F(x) = f(x) \cdot g(x)$

1. 若$f(x)$和$g(x)$均为偶函数：
   $F(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot g(x) = F(x)$
   因此$F(x)$是偶函数。

2. 若$f(x)$和$g(x)$均为奇函数：
   $F(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = F(x)$
   因此$F(x)$是偶函数。

3. 若$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数：
   $F(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -f(x) \cdot g(x) = -F(x)$
   因此$F(x)$是奇函数。