题目

计算积分oint_(c)(1)/(z^101)(1-z^(2))dz，C为正向圆周|z|=1/2.

计算积分$\oint_{c}\frac{1}{z^{101}(1-z^{2})}dz$，C为正向圆周|z|=1/2.

题目解答

答案

为了计算积分$\oint_{C} \frac{1}{z^{101}(1-z^2)} \, dz$，其中$C$是正向圆周 $|z| = \frac{1}{2}$，我们首先需要确定被积函数在圆周 $C$ 内的奇点。被积函数是 $\frac{1}{z^{101}(1-z^2)} = \frac{1}{z^{101}(1-z)(1+z)}$。该函数的奇点是 $z = 0$，$z = 1$ 和 $z = -1$。由于圆周 $C$ 的半径是 $\frac{1}{2}$，只有奇点 $z = 0$ 在圆周 $C$ 内。 接下来，我们使用留数定理来计算积分。留数定理 states 了如果 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 内部和上除了有限个奇点 $z_1, z_2, \ldots, z_n$ 之外处处解析，那么 $\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)$。在这个问题中，我们只有一个奇点 $z = 0$ 在圆周 $C$ 内，所以 $\oint_C \frac{1}{z^{101}(1-z^2)} \, dz = 2\pi i \text{Res}(f, 0)$。 现在，我们需要计算 $f(z) = \frac{1}{z^{101}(1-z^2)}$ 在 $z = 0$ 处的留数。由于 $z = 0$ 是 $f(z)$ 的101阶极点，留数可以使用以下公式计算： \[ \text{Res}(f, 0) = \frac{1}{(100)!} \lim_{z \to 0} \frac{d^{100}}{dz^{100}} \left( z^{101} f(z) \right). \] 首先，我们有 $z^{101} f(z) = \frac{1}{1-z^2}$。我们需要计算 $\frac{1}{1-z^2}$ 的100阶导数在 $z = 0$ 处的值。使用几何级数展开，我们有 \[ \frac{1}{1-z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n}, \quad |z| < 1. \] 这个级数的100阶导数是 \[ \frac{d^{100}}{dz^{100}} \left( \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n} \right) = \sum_{n=50}^{\infty} \frac{(2n)!}{(2n-100)!} z^{2n-100}. \] 在 $z = 0$ 处，只有 $n = 50$ 时的项不为零，所以 \[ \frac{d^{100}}{dz^{100}} \left( \frac{1}{1-z^2} \right) \bigg|_{z=0} = \frac{(100)!}{(0)!} 0^{0} = (100)!. \] 因此，留数是 \[ \text{Res}(f, 0) = \frac{1}{(100)!} \cdot (100)! = 1. \] 最后，积分的值是 \[ \oint_C \frac{1}{z^{101}(1-z^2)} \, dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i. \] 所以，答案是 \[ \boxed{2\pi i}. \]

解析

考查要点：本题主要考查复变函数中的留数定理应用，以及高阶极点处留数的计算方法。

解题核心思路：

  1. 确定积分路径内的奇点：被积函数的奇点为$z=0$（101阶极点）、$z=1$和$z=-1$（一阶极点）。由于积分路径$|z|=1/2$的半径为$1/2$，只有$z=0$在路径内部。
  2. 应用留数定理：积分值等于$2\pi i$乘以被积函数在积分路径内所有奇点的留数之和。
  3. 计算高阶极点的留数：利用泰勒展开求高阶导数，简化计算过程。

破题关键点：

  • 识别奇点位置：通过分析奇点的模长，确定哪些奇点在积分路径内。
  • 选择合适的留数计算方法：对于高阶极点，通过展开函数并求导数来计算留数。

步骤1：确定奇点位置

被积函数为$\frac{1}{z^{101}(1-z^2)} = \frac{1}{z^{101}(1-z)(1+z)}$，其奇点为：

  • $z=0$（101阶极点，因分母有$z^{101}$）
  • $z=1$（一阶极点）
  • $z=-1$（一阶极点）

积分路径$|z|=1/2$的半径为$1/2$，因此只有$z=0$在路径内部。

步骤2：应用留数定理

根据留数定理，积分值为：
$\oint_C \frac{1}{z^{101}(1-z^2)} \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(f, 0\right)$

步骤3：计算$z=0$处的留数

方法：利用公式$\text{Res}(f, 0) = \frac{1}{100!} \lim_{z \to 0} \frac{d^{100}}{dz^{100}} \left( z^{101} f(z) \right)$。

  1. 化简表达式：
    $z^{101} f(z) = \frac{1}{1-z^2}$

  2. 泰勒展开：
    $\frac{1}{1-z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n}, \quad |z| < 1$

  3. 求100阶导数：

    • 对$\sum_{n=0}^{\infty} z^{2n}$求100阶导数，仅当$2n \geq 100$时，项$z^{2n}$的100阶导数非零。
    • 当$n=50$时，$z^{100}$的100阶导数为$100!$，其余项在$z=0$处为0。

  4. 计算结果：
    $\frac{d^{100}}{dz^{100}} \left( \frac{1}{1-z^2} \right) \bigg|_{z=0} = 100!$

  5. 求留数：
    $\text{Res}(f, 0) = \frac{1}{100!} \cdot 100! = 1$

步骤4：计算积分

$\oint_C \frac{1}{z^{101}(1-z^2)} \, dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i$