题目

2【例4】(2012,数二)过点(0,1)作曲线L:y=ln x的切线,切点为A,又L与x轴交于B，区域D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

2【例4】(2012,数二)过点(0,1)作曲线$L:y=\ln x$的切线,切点为A,又L与x轴交于B，区域D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

题目解答

答案

1. **求切点 $A$ 的坐标：** 设切点 $A(x_1, y_1)$，则 $y_1 = \ln x_1$。切线斜率 $k = \frac{1}{x_1}$，切线方程为 $y - \ln x_1 = \frac{1}{x_1}(x - x_1)$。过点 $(0,1)$，代入得 $1 - \ln x_1 = -1$，解得 $x_1 = e^2$，$y_1 = 2$。 **切点 $A(e^2, 2)$。** 2. **求直线 $AB$ 的方程：** 点 $B(1,0)$，斜率 $k = \frac{2-0}{e^2-1}$，方程为 $y = \frac{2}{e^2-1}(x-1)$。 3. **求区域 $D$ 的面积：** 面积为曲线 $y = \ln x$ 与直线 $AB$ 从 $x=1$ 到 $x=e^2$ 之间的面积。 \[ \text{面积} = \int_1^{e^2} \ln x \, dx - \frac{1}{2} \times (e^2-1) \times 2 = (e^2+1) - (e^2-1) = 2. \] **面积为 $2$。** 4. **求旋转体体积：** 体积为曲线 $y = \ln x$ 与直线 $AB$ 绕 $x$ 轴旋转的体积之差。 \[ \text{体积} = \pi \int_1^{e^2} (\ln x)^2 \, dx - \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times (e^2-1) = \frac{2\pi}{3}(e^2-1). \] **体积为 $\frac{2\pi}{3}(e^2-1)$。** **答案：** 面积为 $\boxed{2}$，体积为 $\boxed{\frac{2\pi}{3}(e^2-1)}$。

解析

一、求切点$A$的坐标

曲线$L:y=\ln x$的导数为$y'=\frac{1}{x}$，设切点$A(x_1,y_1)$，则切线斜率$k=\frac{1}{x_1}$，切线方程为：
$y - \ln x_1 = \frac{1}{x_1}(x - x_1)$
切线过点$(0,1)$，代入得：
$1 - \ln x_1 = -1 \implies \ln x_1 = 2 \implies x_1=e^2$
故$y_1=\ln e^2=2$，切点$A(e^2,2)$。

二、求直线$AB$的方程

曲线$L$与$x$轴交于$B(1,0)$（令$\ln x=0$得$x=1$）。直线$AB$的斜率为：
$k_{AB}=\frac{2-0}{e^2-1}=\frac{2}{e^2-1}$
由点斜式得方程：
$y=\frac{2}{e^2-1}(x-1)$

三、求区域$D$的面积

区域$D$由$y=\ln x$和直线$AB$从$x=1$到$x=e^2$围成，面积为：
$S=\int_1^{e^2} \ln x \,dx - \text{三角形面积}$

  1. 计算$\int_1^{e^2} \ln x \,dx$：
    用分部积分法$\int u dv=uv-\int v du$，令$u=\ln x$，$dv=dx$，则：
    $\int \ln x dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$
    代入上下限：
    $\left[x\ln x - x\right]_1^{e^2} = (e^2 \cdot 2 - e^2) - (1 \cdot 0 - 1) = e^2 + 1$

  2. 三角形面积：
    $\triangle ABC$底为$e^2 - 1$，高为$2$，面积$\frac{1}{2} \times (e^2 - 1) \times 2 = e^2 - 1$。

  3. 区域面积：
    $S=(e^2 + 1) - (e^2 - 1)=2$

四、求旋转体体积

体积为$y=\ln x$绕$x$轴旋转的体积减去直线$AB$绕$x$轴旋转的体积：
$V=\pi \int_1^{e^2} (\ln x)^2 dx - \pi \cdot \text{圆锥体积}$

  1. 计算$\int_1^{e^2} (\ln x)^2 dx$：
    再次用分部积分法，令$u=(\ln x)^2$，$dv=dx$，则：
    $\int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x dx = x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x) + C$
    代入上下限：
    $\left[x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x\right]_1^{e^2} = (e^2 \cdot 4 - 4e^2 + 2e^2) - (0 - 0 + 2) = 2e^2 - 2$

  2. 圆锥体积：
    直线$AB$绕$x$轴旋转形成圆锥，底面半径$2$，高$e^2 - 1$，体积$\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot (e^2 - 1)$。

  3. 旋转体体积：
    $V=\pi (2e^2 - 2) - \frac{4\pi}{3}(e^2 - 1) = \frac{2\pi}{3}(e^2 - 1)$