微分方程 '-yln y=0 的通解为 () .

考查要点：本题主要考查一阶微分方程的解法，特别是可分离变量方程的解题思路。关键在于将方程中的变量分离，转化为两边积分的形式。

解题核心思路：

1. 整理方程：将方程变形为关于$dy$和$dx$的分离形式。
2. 变量分离：将$x$与$y$的项分别移到等式两边。
3. 积分求解：对两边分别积分，注意积分常数的处理。
4. 化简结果：通过代数变形得到通解的显式表达式。

破题关键点：

• 识别方程类型：确认方程属于可分离变量方程。
• 正确换元积分：对$\int \frac{dy}{y \ln y}$使用换元法，令$u = \ln y$。
• 处理绝对值与常数：积分后通过指数运算消去绝对值，合并常数项。

步骤1：整理方程
原方程 $xy' - y \ln y = 0$ 可变形为：
$x \frac{dy}{dx} = y \ln y$

步骤2：变量分离
将方程两边同时除以$y \ln y$，并乘以$dx$：
$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$

步骤3：积分求解
对两边分别积分：

• 左边积分：令$u = \ln y$，则$du = \frac{1}{y} dy$，得：
  $\int \frac{dy}{y \ln y} = \int \frac{du}{u} = \ln |u| + C = \ln |\ln y| + C$
• 右边积分：
  $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C$

步骤4：联立结果
联立两边积分结果：
$\ln |\ln y| = \ln |x| + C$

步骤5：化简通解
取指数消去绝对值，并合并常数：
$|\ln y| = C |x| \quad \Rightarrow \quad \ln y = C x \quad \Rightarrow \quad y = e^{C x}$
（其中$C$为任意常数）