题目
int dfrac (1+2{x)^2}({x)^2(1+(x)^2})dx_____.
_____.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}$ 分解为部分分式。设
$$\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{Cx+D}{1+x^2}$$
步骤 2：确定系数
通过比较系数，确定 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 的值。将等式两边通分，得到
$$1+2x^2 = A x (1+x^2) + B (1+x^2) + (Cx+D) x^2$$
展开并整理，得到
$$1+2x^2 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + Ax + B$$
比较系数，得到
$$A+C=0, B+D=2, A=0, B=1$$
解得 $A=0$，$B=1$，$C=0$，$D=1$。
步骤 3：积分
将被积函数分解为部分分式后，进行积分。
$$\int \dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx = \int \left( \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{1+x^2} \right) dx$$
$$= -\dfrac{1}{x} + \arctan x + C$$
将被积函数 $\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}$ 分解为部分分式。设
$$\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{Cx+D}{1+x^2}$$
步骤 2：确定系数
通过比较系数，确定 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 的值。将等式两边通分，得到
$$1+2x^2 = A x (1+x^2) + B (1+x^2) + (Cx+D) x^2$$
展开并整理，得到
$$1+2x^2 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + Ax + B$$
比较系数，得到
$$A+C=0, B+D=2, A=0, B=1$$
解得 $A=0$，$B=1$，$C=0$，$D=1$。
步骤 3：积分
将被积函数分解为部分分式后，进行积分。
$$\int \dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx = \int \left( \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{1+x^2} \right) dx$$
$$= -\dfrac{1}{x} + \arctan x + C$$