3.设 f(x)= -infty lt xlt 0 sin dfrac {1)(x) 0lt xlt +infty . 求f(x)在x→0时的左极限,并-|||-说明它在x→0时的右极限是否存在?

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的左、右极限是否存在，以及极限的计算方法。

解题核心思路：

1. 左极限：当$x \to 0^-$时，函数表达式为$x \sin \frac{1}{x}$，需利用夹逼定理判断极限值。
2. 右极限：当$x \to 0^+$时，函数表达式为$\sin \frac{1}{x}$，需分析函数值的震荡性，判断极限是否存在。

破题关键点：

• 左极限的关键在于观察$x$的绝对值随$x \to 0$趋近于0，从而压制度荡的$\sin \frac{1}{x}$项。
• 右极限的关键在于发现$\sin \frac{1}{x}$在$x \to 0^+$时无限次在$[-1,1]$之间震荡，导致极限不存在。

左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，$f(x) = x \sin \frac{1}{x}$。

1. 分析$\sin \frac{1}{x}$的有界性：
   $\forall x \neq 0$，有$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，因此：
   $|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|.$
2. 应用夹逼定理：
   当$x \to 0^-$时，$|x| \to 0$，故：
   $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|.$
   根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$。

右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，$f(x) = \sin \frac{1}{x}$。

1. 分析震荡性：
   当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，$\sin \frac{1}{x}$在$[-1,1]$之间无限次震荡。
2. 举例验证极限不存在：
   • 取$x_n = \frac{1}{2n\pi}$，则$\sin \frac{1}{x_n} = \sin(2n\pi) = 0$，极限为0。
   • 取$y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$，则$\sin \frac{1}{y_n} = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1$，极限为1。
     由于不同路径的极限值不同，故$\lim_{x \to 0^+} \sin \frac{1}{x}$不存在。