6.设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) 3(x)^2,0lt xlt 1 0, .-|||-求:(1)E(X);(2)D (X).

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的期望与方差的计算，需要熟练掌握概率密度函数的性质以及相关积分运算。

解题核心思路：

1. 期望：利用公式 $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx$，结合概率密度函数的定义域简化积分区间。
2. 方差：先计算 $E(X^2)$，再通过公式 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ 得到方差。

破题关键点：

• 积分区间：概率密度函数 $f(x)$ 在 $0 < x < 1$ 时非零，因此积分区间为 $[0, 1]$。
• 积分运算：正确计算幂函数的积分，注意系数和指数的对应关系。

第（1）题：求 $E(X)$

根据期望公式计算

$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \cdot 3x^2 \, dx = 3 \int_{0}^{1} x^3 \, dx$

计算积分

$3 \int_{0}^{1} x^3 \, dx = 3 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 3 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{3}{4}$

结论：$E(X) = \dfrac{3}{4}$。

第（2）题：求 $D(X)$

计算 $E(X^2)$

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 3x^2 \, dx = 3 \int_{0}^{1} x^4 \, dx$

计算积分

$3 \int_{0}^{1} x^4 \, dx = 3 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = 3 \left( \frac{1}{5} - 0 \right) = \frac{3}{5}$

计算方差

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{3}{5} - \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16}$

通分运算

$\frac{3}{5} = \frac{48}{80}, \quad \frac{9}{16} = \frac{45}{80}, \quad D(X) = \frac{48}{80} - \frac{45}{80} = \frac{3}{80}$

结论：$D(X) = \dfrac{3}{80}$。