双曲面 dfrac ({x)^2}(9)+dfrac ({y)^2}(16)-dfrac ({z)^2}(49)=1 与 =4. 交线为()。-|||-A 双曲线-|||-B 椭圆-|||-C) 抛物线-|||-(D)一对相交直线-|||-__

考查要点：本题主要考查空间解析几何中二次曲面与平面交线的判断，需要掌握双曲面的标准方程形式及截口曲线的分析方法。

解题核心思路：

1. 代入平面方程：将平面方程$y=4$代入双曲面方程，得到关于$x$和$z$的方程。
2. 化简方程：通过代数变形，判断化简后的方程对应的空间曲线类型。
3. 分解方程：若方程可分解为两个线性方程的乘积，则交线为两条相交直线。

破题关键点：

• 识别双曲面类型：原方程为单叶双曲面（右侧为1，含一个负项）。
• 代入后方程的化简：通过代入$y=4$，消去常数项，得到$x$和$z$的二次关系式。
• 方程的因式分解：若方程可分解为两个线性方程的乘积，则交线为直线。

将平面方程$y=4$代入双曲面方程$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} - \dfrac{z^2}{49} = 1$，得：
$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{4^2}{16} - \dfrac{z^2}{49} = 1$
计算$\dfrac{4^2}{16} = 1$，代入后方程化简为：
$\dfrac{x^2}{9} + 1 - \dfrac{z^2}{49} = 1$
进一步整理得：
$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{z^2}{49} = 0$
将方程左边因式分解：
$\left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{z}{7} \right)\left( \dfrac{x}{3} + \dfrac{z}{7} \right) = 0$
因此，方程表示两个平面：
$\dfrac{x}{3} - \dfrac{z}{7} = 0 \quad \text{和} \quad \dfrac{x}{3} + \dfrac{z}{7} = 0$
这两个平面在$y=4$的平面内相交，形成两条相交的直线。