题目
23.曲线 y=f(x) 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率-|||-的2倍,且曲线过点 (1,dfrac (1)(3)), 求此曲线方程.(8分)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解题意
题目要求我们找到一个曲线方程 $y=f(x)$，使得该曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍。同时，曲线过点 $(1,\dfrac {1}{3})$。
步骤 2：建立方程
设曲线上任意一点为 $(x, y)$，则该点的切线斜率为 $\dfrac{dy}{dx}$。原点到该点的连线斜率为 $\dfrac{y}{x}$。根据题意，有 $\dfrac{dy}{dx} = 2 \cdot \dfrac{y}{x}$。
步骤 3：求解微分方程
将 $\dfrac{dy}{dx} = 2 \cdot \dfrac{y}{x}$ 写成 $\dfrac{dy}{y} = 2 \cdot \dfrac{dx}{x}$，然后两边同时积分，得到 $\ln|y| = 2\ln|x| + C$，即 $y = Cx^2$。
步骤 4：确定常数C
由于曲线过点 $(1,\dfrac {1}{3})$，代入 $y = Cx^2$ 得到 $\dfrac{1}{3} = C \cdot 1^2$，从而 $C = \dfrac{1}{3}$。
题目要求我们找到一个曲线方程 $y=f(x)$，使得该曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍。同时，曲线过点 $(1,\dfrac {1}{3})$。
步骤 2：建立方程
设曲线上任意一点为 $(x, y)$，则该点的切线斜率为 $\dfrac{dy}{dx}$。原点到该点的连线斜率为 $\dfrac{y}{x}$。根据题意，有 $\dfrac{dy}{dx} = 2 \cdot \dfrac{y}{x}$。
步骤 3：求解微分方程
将 $\dfrac{dy}{dx} = 2 \cdot \dfrac{y}{x}$ 写成 $\dfrac{dy}{y} = 2 \cdot \dfrac{dx}{x}$，然后两边同时积分，得到 $\ln|y| = 2\ln|x| + C$，即 $y = Cx^2$。
步骤 4：确定常数C
由于曲线过点 $(1,\dfrac {1}{3})$，代入 $y = Cx^2$ 得到 $\dfrac{1}{3} = C \cdot 1^2$，从而 $C = \dfrac{1}{3}$。