设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件。(1)求取到的是次品的概率。(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率。

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的计算。

解题思路：

1. 第（1）问：通过全概率公式，将总次品率分解为各厂次品率的加权平均，权重为各厂产品占比。
2. 第（2）问：利用贝叶斯定理，结合第（1）问的结果，计算后验概率。

关键点：

• 互斥事件的划分（甲、乙、丙三厂生产的产品互不重叠）。
• 条件概率的正确应用，尤其是后验概率的计算。

第（1）题

应用全概率公式

设事件 $A_1, A_2, A_3$ 分别表示产品为甲、乙、丙厂生产，事件 $B$ 表示产品为次品。根据全概率公式：
$P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(A_i)P(B|A_i)$

代入已知数据

• $P(A_1)=45\%=0.45$，$P(B|A_1)=4\%=0.04$
• $P(A_2)=35\%=0.35$，$P(B|A_2)=2\%=0.02$
• $P(A_3)=20\%=0.20$，$P(B|A_3)=5\%=0.05$

计算得：
$P(B) = 0.45 \times 0.04 + 0.35 \times 0.02 + 0.20 \times 0.05 = 0.018 + 0.007 + 0.01 = 0.035$

第（2）题

应用贝叶斯定理

$P(A_1|B) = \frac{P(A_1B)}{P(B)} = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}$

代入已知数据

• $P(A_1)P(B|A_1) = 0.45 \times 0.04 = 0.018$
• $P(B) = 0.035$（第（1）问结果）

计算得：
$P(A_1|B) = \frac{0.018}{0.035} = \frac{18}{35}$